Bài 15. Giới hạn của dãy số

I. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Nếu dãy số (u_n) không có giới hạn hữu hạn, ta nói dãy số đó phân kỳ.

II. Các dạng giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn hữu hạn: lim_n→∞ u_n = L (L là một số thực).
Dãy số tiến tới vô cùng dương: lim_n→∞ u_n = +∞.
Dãy số tiến tới vô cùng âm: lim_n→∞ u_n = -∞.
Dãy số dao động: Dãy số không tiến tới một giới hạn xác định.

III. Các tính chất của giới hạn dãy số

Giới hạn của một tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của một hiệu: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của một tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của một thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3).

Giải: Ta có lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 + 3/n) = 2 / 1 = 2.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1 - 1/n²).

Giải: Ta có lim_n→∞ (1 - 1/n²) = 1 - lim_n→∞ (1/n²) = 1 - 0 = 1.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim_n→∞ (3n - 2) / (n + 1)
b) lim_n→∞ (n² + 1) / (2n² - 3)
c) lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ

Bài 2: Chứng minh dãy số (u_n) = (n + 1) / n phân kỳ.

VI. Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn của dãy số, cần chú ý đến các tính chất của giới hạn và các dạng giới hạn đặc biệt. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn và các tính chất liên quan là rất quan trọng để giải quyết các bài toán về giới hạn dãy số một cách hiệu quả.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về giới hạn của dãy số và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.