Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 của giaitoan.edu.vn. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 106, 107 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 2 + frac{1}{n},;;;{v_n} = 3 - frac{2}{n}) Tính và so sánh: (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {{u_n} + {v_n}} right)) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} + mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n})
Video hướng dẫn giải
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\)
Tính và so sánh: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)
Phương pháp giải:
Tính \({u_n} + {v_n} \) và dùng công thức \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }\frac{1}{n}=0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}\)
Do đó: \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\; = 5\)
\({u_n}\; = 2\), \({v_n}\; = 3\)
Vậy \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)
Video hướng dẫn giải
Tìm \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\).
Phương pháp giải:
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\; = \frac{{\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{n}}}\; = \frac{{\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right)\;}}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\;}} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2 \).
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với các phép biến hình cơ bản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các phép biến hình này là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức tiếp theo trong chương trình hình học.
Mục 2 trang 106, 107 SGK Toán 11 tập 1 bao gồm các bài tập vận dụng kiến thức về phép biến hình để giải quyết các bài toán thực tế. Các bài tập này thường yêu cầu các em xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép biến hình cho trước. Ngoài ra, các em cũng cần chứng minh tính chất của các phép biến hình và sử dụng các phép biến hình để giải quyết các bài toán hình học.
Bài 1 yêu cầu các em xác định ảnh của một điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Để giải bài tập này, các em cần hiểu rõ định nghĩa của phép tịnh tiến và cách thực hiện phép tịnh tiến trên mặt phẳng tọa độ. Công thức tổng quát để tìm ảnh của một điểm M(x, y) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(a, b) là M'(x + a, y + b).
Bài 2 yêu cầu các em xác định ảnh của một điểm M qua phép quay tâm O góc α. Để giải bài tập này, các em cần hiểu rõ định nghĩa của phép quay và cách thực hiện phép quay trên mặt phẳng tọa độ. Công thức tổng quát để tìm ảnh của một điểm M(x, y) qua phép quay tâm O(0, 0) góc α là M'(x cos α - y sin α, x sin α + y cos α).
Bài 3 yêu cầu các em xác định ảnh của một điểm M qua phép đối xứng trục d. Để giải bài tập này, các em cần hiểu rõ định nghĩa của phép đối xứng trục và cách thực hiện phép đối xứng trục trên mặt phẳng tọa độ. Ảnh của một điểm M qua phép đối xứng trục d là điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.
Bài 4 yêu cầu các em xác định ảnh của một điểm M qua phép đối xứng tâm I. Để giải bài tập này, các em cần hiểu rõ định nghĩa của phép đối xứng tâm và cách thực hiện phép đối xứng tâm trên mặt phẳng tọa độ. Ảnh của một điểm M qua phép đối xứng tâm I là điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM'.
Các phép biến hình có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật. Ví dụ, trong đồ họa máy tính, các phép biến hình được sử dụng để tạo ra các hiệu ứng hình ảnh đẹp mắt. Trong kiến trúc, các phép biến hình được sử dụng để thiết kế các công trình độc đáo và sáng tạo. Trong vật lý, các phép biến hình được sử dụng để mô tả sự chuyển động của các vật thể.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu trên đây, các em học sinh đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục 2 trang 106, 107 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán.
| Phép biến hình | Định nghĩa | Công thức |
|---|---|---|
| Phép tịnh tiến | Biến mỗi điểm thành một điểm sao cho vectơ nối hai điểm bằng một vectơ cho trước. | M'(x + a, y + b) |
| Phép quay | Biến mỗi điểm thành một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tâm quay không đổi và góc giữa hai đoạn thẳng nối điểm đó với tâm quay là một góc cho trước. | M'(x cos α - y sin α, x sin α + y cos α) |
| Phép đối xứng trục | Biến mỗi điểm thành một điểm sao cho trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm. | (Công thức phức tạp, cần xét vị trí điểm so với trục) |
| Phép đối xứng tâm | Biến mỗi điểm thành một điểm sao cho tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm. | M'(2xI - x, 2yI - y) |
