Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Bài 16: Công thức tính góc trong không gian - Giải Toán 12 Kết nối tri thức

Bài 16 trong chương 5, Phương pháp tọa độ trong không gian, SGK Toán 12 Kết nối tri thức, là một phần quan trọng trong việc củng cố kiến thức về hình học không gian. Bài học này tập trung vào việc xác định và tính toán các góc trong không gian, một kỹ năng cần thiết cho việc giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để tính góc trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:

• Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ chỉ phương của chúng. Công thức tính góc α giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b là:
• cos(α) = |a.b| / (||a||.||b||)
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Công thức tính góc φ giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương a và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n là:
• sin(φ) = |a.n| / (||a||.||n||)

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến góc trong không gian, bạn có thể áp dụng các bước sau:

1. Xác định các vectơ cần thiết: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2. Áp dụng công thức: Sử dụng các công thức tính góc đã nêu ở trên.
3. Tính toán và kết luận: Thực hiện các phép tính và đưa ra kết quả cuối cùng.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng này.

Giải:

Vectơ chỉ phương của d₁ là a = (1, -1, 2). Vectơ chỉ phương của d₂ là b = (-1, 1, -1).

cos(α) = |(1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1)| / (√(1² + (-1)² + 2²) * √( (-1)² + 1² + (-1)²)) = |-4| / (√6 * √3) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3

Vậy α ≈ 19.47°

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

Vectơ chỉ phương của d là a = (1, 1, 2). Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1, 1, 1).

sin(φ) = |(1)(1) + (1)(1) + (2)(1)| / (√(1² + 1² + 2²) * √(1² + 1² + 1²)) = |4| / (√6 * √3) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3

Vậy φ ≈ 54.74°

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ cho bởi các phương trình sau...
• Bài 2: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) cho bởi các phương trình sau...
• Bài 3: ...

V. Kết luận

Bài 16 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về việc tính góc trong không gian. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt được kết quả tốt nhất!