Chào mừng các em học sinh đến với bài học Bài 17. Phương trình mặt cầu trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho các em kiến thức nền tảng và các phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu trong không gian.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho các em những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và đầy đủ, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.
Bài 17 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học về phương pháp tọa độ trong không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm hình học và ứng dụng của đại số trong việc mô tả các đối tượng không gian.
1. Định nghĩa: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm M(x; y; z) sao cho IM = R.
2. Phương trình mặt cầu: Phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R có dạng:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Trong đó:
3. Dạng khai triển của phương trình mặt cầu:
x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Với d = a² + b² + c² - R²
1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi biết phương trình:
Để xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi biết phương trình, ta cần đưa phương trình về dạng chuẩn (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R². Từ đó, ta suy ra tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R.
Ví dụ: Cho phương trình mặt cầu x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 5 = 0. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Giải:
Ta có: x² - 2x + y² + 4y + z² - 6z + 5 = 0
(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + (z² - 6z + 9) + 5 - 1 - 4 - 9 = 0
(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9
Vậy tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3) và bán kính R = 3.
2. Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính:
Khi biết tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R, ta có thể viết phương trình mặt cầu theo công thức (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; -1; 0) và bán kính R = 5.
Giải:
Phương trình mặt cầu là: (x - 2)² + (y + 1)² + z² = 25
3. Xác định điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu:
Phương trình x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² - d > 0.
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về phương trình mặt cầu. Chúc các em học tập tốt!
