Bài 5.24 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.24 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\). b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\). c) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0\)
Đề bài
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\).
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\).
c) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Xét dạng phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) phương trình là phương trình mặt cầu, có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Ý b: Xét dạng phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) phương trình là phương trình mặt cầu, có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Ý c: Xét dạng phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) phương trình là phương trình mặt cầu, có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết
a) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\), ta có \(a = - 1,b = 0,c = 2,d = 2\).
Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 - 2 = 3 > 0\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.
Mặt cầu có tâm \(\left( { - 1;0;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \).
b) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\), ta có \(a = 1,b = - 1,c = - 1,d = 7\).
Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 1 + 1 - 7 = - 4 < 0\), do đó phương trình đã cho không là phương trình mặt
cầu.
c) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Xét phương trình \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + \frac{2}{3} = 0\).
Ta có \(a = - 2,b = 1,c = - 1,d = \frac{2}{3}\).
Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 1 + 1 - \frac{2}{3} = \frac{{16}}{3} > 0\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.
Mặt cầu có tâm \(\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Bài 5.24 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài 5.24 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập yêu cầu chúng ta tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x + 1.
Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Bước 2: Tìm điểm cực trị
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm:
x1 = (6 + √12) / 6 = 1 + √3 / 3
x2 = (6 - √12) / 6 = 1 - √3 / 3
Bước 3: Xác định loại điểm cực trị
Để xác định loại điểm cực trị, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):
f''(x) = 6x - 6
Tại x1 = 1 + √3 / 3, f''(x1) = 6(1 + √3 / 3) - 6 = 2√3 > 0, do đó x1 là điểm cực tiểu.
Tại x2 = 1 - √3 / 3, f''(x2) = 6(1 - √3 / 3) - 6 = -2√3 < 0, do đó x2 là điểm cực đại.
Khi giải bài tập về đạo hàm, các em học sinh cần lưu ý những điều sau:
Giaitoan.edu.vn là website học Toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng, bài tập và lời giải chi tiết cho các môn Toán từ lớp 6 đến lớp 12. Chúng tôi luôn cố gắng mang đến cho học sinh những trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp các em học Toán hiệu quả và đạt kết quả cao.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 5.24 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!