Bài 5.26 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.26 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1). Từ vị trí (Aleft( {frac{1}{2};frac{1}{2};frac{1}{{sqrt 2 }}} right)), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng (overrightarrow v = left( {2;2; - 3} right)). Tính độ dài đường hầm cần đào.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\).
Từ vị trí \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\). Tính độ dài đường hầm cần đào.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường hầm nằm trên đường thẳng đi qua A có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\).
Tìm giao điểm B khác A của đường thẳng này và mặt cầu.
Độ dài đường hầm cần đào là độ dài cạnh AB.
Lời giải chi tiết
Đường hầm nằm trên đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} + 2t\\y = \frac{1}{2} + 2t\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t\end{array} \right.\)
Gọi B là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S). Do B thuộc d nên \(B\left( {\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)\) với \(t \ne 0\) để B không trùng với A.
Vì B thuộc (S) nên ta có:
\({\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow 1 + \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)t + 17{t^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)t + 17{t^2} = 0\)
\( \Rightarrow t = \frac{{3\sqrt 2 - 4}}{{17}}\) (do trường hợp \(t = 0\) không thỏa mãn).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 3t} \right)}^2}} = \left| t \right|\sqrt {17} = \frac{{3\sqrt 2 - 4}}{{\sqrt {17} }}\).
Vậy độ dài đường hầm cần đào là \(\frac{{3\sqrt 2 - 4}}{{\sqrt {17} }}\).
Bài 5.26 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài 5.26 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.26 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập yêu cầu chúng ta tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x + 1.
Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Bước 2: Tìm điểm cực trị
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm:
x1 = (6 + √12) / 6 = 1 + √3 / 3
x2 = (6 - √12) / 6 = 1 - √3 / 3
Bước 3: Xác định loại điểm cực trị
Để xác định loại điểm cực trị, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):
f''(x) = 6x - 6
Tại x1 = 1 + √3 / 3, f''(x1) = 6(1 + √3 / 3) - 6 = 2√3 > 0, do đó x1 là điểm cực tiểu.
Tại x2 = 1 - √3 / 3, f''(x2) = 6(1 - √3 / 3) - 6 = -2√3 < 0, do đó x2 là điểm cực đại.
Giaitoan.edu.vn là website học Toán 12 online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải, đáp án, lý thuyết và bài tập trắc nghiệm. Chúng tôi luôn cập nhật nội dung mới nhất, giúp các em học sinh học Toán 12 một cách hiệu quả nhất.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 5.26 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
