Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải pháp chi tiết

Bài 18 trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 giới thiệu về lũy thừa với số mũ thực, một khái niệm mở rộng của lũy thừa với số mũ nguyên. Để hiểu rõ về chủ đề này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực.

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa như sau: Với số thực α và số thực x ≠ 0, ta có x^α = e^αlnx, trong đó e là cơ số của logarit tự nhiên (e ≈ 2.71828).

Định nghĩa này mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên sang số mũ thực, cho phép chúng ta tính toán lũy thừa với số mũ là phân số, số thập phân, hoặc thậm chí là số vô tỉ.

2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

• Tính chất 1: x^α.x^β = x^α+β (với x ≠ 0)
• Tính chất 2: x^α/x^β = x^α-β (với x ≠ 0)
• Tính chất 3: (x^α)^β = x^αβ (với x ≠ 0)
• Tính chất 4: (xy)^α = x^α.y^α
• Tính chất 5: (x/y)^α = x^α/y^α (với x ≠ 0, y ≠ 0)

Các tính chất này đóng vai trò quan trọng trong việc đơn giản hóa các biểu thức chứa lũy thừa với số mũ thực và giải các phương trình, bất phương trình liên quan.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính 2^1.5

Ta có 2^1.5 = 2^3/2 = √(2³) = √8 = 2√2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức x².x^-1/2

Ta có x².x^-1/2 = x^{2 - 1/2} = x^3/2

4. Ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Toán học: Giải các phương trình, bất phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng vật lý như sự phân rã phóng xạ, sự tăng trưởng dân số, sự giảm nhiệt độ.
• Kinh tế: Tính lãi kép, phân tích tăng trưởng kinh tế.
• Thống kê: Tính toán các chỉ số thống kê.

5. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính 3^2.5

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức (x^1/2)⁴

Bài tập 3: Giải phương trình 2^x = 8

Để giải các bài tập này, bạn cần áp dụng các định nghĩa và tính chất của lũy thừa với số mũ thực đã học. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

6. Lưu ý quan trọng

Khi làm việc với lũy thừa với số mũ thực, cần lưu ý các điểm sau:

• Số mũ thực có thể là số dương, số âm, số phân số, hoặc số vô tỉ.
• Cơ số của lũy thừa phải khác 0.
• Khi rút gọn biểu thức chứa lũy thừa, cần áp dụng đúng các tính chất của lũy thừa.

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lũy thừa với số mũ thực. Chúc bạn học tập tốt!