Giải Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương IX, Thống kê và xác suất của sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2, tập trung vào việc tìm hiểu về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Đây là những khái niệm nền tảng quan trọng trong lý thuyết xác suất, giúp chúng ta tính toán xác suất của các sự kiện phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ký hiệu biến cố hợp là A ∪ B. Để hiểu rõ hơn, ta có thể minh họa bằng sơ đồ Venn. Phần diện tích biểu diễn biến cố hợp là tổng diện tích của hai biến cố trừ đi diện tích giao của chúng.

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất cho phép chúng ta tính xác suất của biến cố hợp. Công thức tổng quát là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B
P(A) là xác suất của biến cố A
P(B) là xác suất của biến cố B
P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B (biến cố xảy ra đồng thời cả A và B)

3. Các trường hợp đặc biệt

Khi hai biến cố A và B là độc lập (việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B), thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Khi đó, quy tắc cộng xác suất trở thành:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Khi hai biến cố A và B là loại trừ nhau (không thể xảy ra đồng thời), thì P(A ∩ B) = 0. Khi đó, quy tắc cộng xác suất trở thành:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là A^c: lấy được cả hai quả bóng xanh.

P(A^c) = (C₃²) / (C₈²) = 3/28

P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

Gọi A là biến cố mặt xuất hiện là số chẵn: {2, 4, 6}. P(A) = 3/6 = 1/2

Gọi B là biến cố mặt xuất hiện là số chia hết cho 3: {3, 6}. P(B) = 2/6 = 1/3

A ∩ B = {6}. P(A ∩ B) = 1/6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

5. Bài tập áp dụng

Một túi đựng 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để 2 quả cùng màu.
Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7.
Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 12 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được 2 nam và 1 nữ.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em đã hiểu rõ hơn về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!