Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, chuyên đề về biến ngẫu nhiên rời rạc đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng lý thuyết xác suất và thống kê. Bài 2, tập trung vào biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng, là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các loại phân bố xác suất thường gặp và cách sử dụng chúng để giải quyết các bài toán thực tế.

1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố nhị thức, ký hiệu là X ~ B(n, p), nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Thực hiện n phép thử độc lập.
Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: thành công (S) hoặc thất bại (F).
Xác suất thành công trong mỗi phép thử là p (không đổi).

Trong đó:

n: số lần thực hiện phép thử.
p: xác suất thành công trong mỗi phép thử.

Biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần thành công trong n phép thử độc lập.

2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ~ B(n, p) được tính theo công thức:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó:

C_n^k: tổ hợp chập k của n.

Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận một giá trị cụ thể k.

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Để hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức, chúng ta cần tìm hiểu về các số đặc trưng của nó:

Giá trị kỳ vọng (E(X)): E(X) = n * p
Phương sai (Var(X)): Var(X) = n * p * (1 - p)
Độ lệch chuẩn (σ(X)): σ(X) = √(n * p * (1 - p))

Các số đặc trưng này cung cấp thông tin về vị trí trung tâm và mức độ phân tán của phân bố nhị thức.

4. Ứng dụng của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Kiểm tra chất lượng sản phẩm: Xác suất có k sản phẩm lỗi trong một lô hàng gồm n sản phẩm.
Khảo sát ý kiến: Xác suất có k người đồng ý với một ý kiến nào đó trong một mẫu gồm n người.
Y học: Xác suất có k người mắc bệnh trong một nhóm gồm n người.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một đồng xu được tung 10 lần. Tính xác suất để được 6 mặt ngửa.

Giải:

X ~ B(10, 0.5)

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.5)⁶ * (0.5)⁴ = 210 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.205

Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 bóng đèn, trong đó có 3 bóng bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất để có 2 bóng bị hỏng.

Giải:

X ~ B(5, 3/20)

P(X = 2) = C₅² * (3/20)² * (17/20)³ ≈ 0.238

6. Kết luận

Bài học về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về một trong những phân bố quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và ứng dụng của phân bố nhị thức sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác hơn.