Chào mừng các em học sinh đến với bài học Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes thuộc chương 6: Một số yếu tố xác suất, sách Toán 12 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho các em kiến thức nền tảng và phương pháp giải các bài toán liên quan đến xác suất.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập trong sách giáo khoa và các đề thi.
Bài 2 trong chương 6 Toán 12 Cánh Diều tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và các ứng dụng thực tế khác.
Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số biến cố khác loại trừ lẫn nhau.
Phát biểu: Nếu B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω (Ω là không gian mẫu), thì xác suất của biến cố A được tính theo công thức:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Ví dụ minh họa: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.
Giải:
Ta có: P(B1) = 0.6, P(B2) = 0.4, P(A|B1) = 0.02, P(A|B2) = 0.03
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024
Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.
Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.
Phát biểu: Nếu B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω, thì xác suất có điều kiện P(Bi|A) được tính theo công thức:
P(Bi|A) = [P(A|Bi)P(Bi)] / P(A)
Trong đó P(A) được tính theo công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Ví dụ minh họa: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Nếu một người được xét nghiệm và kết quả dương tính, thì xác suất người đó mắc bệnh là bao nhiêu?
Giải:
Ta có: P(B) = 0.01, P(¬B) = 0.99, P(A|B) = 0.95, P(¬A|¬B) = 0.95 => P(A|¬B) = 0.05
Tính P(A) theo công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|¬B)P(¬B) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059
Áp dụng công thức Bayes:
P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161
Vậy xác suất người đó mắc bệnh nếu kết quả xét nghiệm dương tính là khoảng 16.1%.
Để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể tự giải các bài tập sau trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc các em học tập tốt!
