Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SGK Toán 12 Cánh diều

Bài 2 trong chương 1 Toán 12 Cánh diều tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ quan trọng cho việc giải các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác.

I. Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng hoặc tập hợp D.

• M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M.
• m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

Điểm x₀ tương ứng với GTLN hoặc GTNN được gọi là điểm cực trị của hàm số.

II. Điều kiện cần để hàm số đạt GTLN, GTNN

Nếu hàm số f(x) đạt GTLN hoặc GTNN tại điểm x₀ thuộc khoảng mở (a, b) thì f'(x₀) = 0. Nói cách khác, GTLN và GTNN của hàm số thường đạt được tại các điểm mà đạo hàm bằng không (điểm dừng) hoặc không xác định.

III. Quy trình tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
2. Tìm các điểm dừng của hàm số bằng cách giải phương trình f'(x) = 0.
3. Xác định các điểm không xác định của đạo hàm.
4. Lập bảng biến thiên của hàm số, xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định.
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng, điểm không xác định và các mút của khoảng.
6. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng đó.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

1. f'(x) = 3x² - 6x
2. f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0. Vậy, các điểm dừng là x = 0 và x = 2.
3. Lập bảng biến thiên:

   x	-1	0	2	3
   f'(x)	+	-	+	+
   f(x)	0	2	-2	8

4. Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTLN tại x = 3 với giá trị f(3) = 8 và đạt GTNN tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

V. Lưu ý quan trọng

• Không phải hàm số nào cũng có GTLN và GTNN trên một khoảng cho trước.
• Khi tìm GTLN và GTNN trên một đoạn [a, b], cần xét cả giá trị của hàm số tại các mút của đoạn.
• Việc hiểu rõ bản chất của đạo hàm và bảng biến thiên là chìa khóa để giải quyết các bài toán về GTLN và GTNN một cách hiệu quả.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!