Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Hàm số bậc hai là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 10. Bài học này sẽ đi sâu vào việc nghiên cứu hàm số bậc hai, bao gồm định nghĩa, các dạng biểu diễn, cách xác định các yếu tố quan trọng như đỉnh, trục đối xứng, và giao điểm với các trục tọa độ.

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Hệ số a quyết định tính chất lồi hoặc lõm của đồ thị hàm số. Nếu a > 0, đồ thị hàm số có dạng parabol mở lên trên, còn nếu a < 0, đồ thị có dạng parabol mở xuống dưới.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Để vẽ đồ thị, ta cần xác định các yếu tố sau:

• Đỉnh của parabol: I(x₀; y₀) với x₀ = -b/2a và y₀ = f(x₀).
• Trục đối xứng: Đường thẳng x = x₀.
• Giao điểm với trục Oy: A(0; c).
• Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình ax² + bx + c = 0 để tìm hoành độ giao điểm.

3. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính quỹ đạo của vật được ném lên: Quỹ đạo của vật ném lên thường được mô tả bằng một hàm số bậc hai.
• Thiết kế các công trình kiến trúc: Các công trình như cầu, vòm, mái vòm thường sử dụng đường parabol trong thiết kế.
• Giải các bài toán tối ưu hóa: Hàm số bậc hai có thể được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng nào đó.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định các yếu tố của hàm số y = 2x² - 4x + 1.

Giải:

• a = 2, b = -4, c = 1
• x₀ = -(-4)/(2*2) = 1
• y₀ = 2(1)² - 4(1) + 1 = -1
• Đỉnh của parabol: I(1; -1)
• Trục đối xứng: x = 1
• Giao điểm với trục Oy: A(0; 1)

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để phương trình 2x² - (m+1)x + m = 0 có nghiệm.

Giải:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi delta ≥ 0.

Δ = (m+1)² - 4*2*m = m² + 2m + 1 - 8m = m² - 6m + 1

Δ ≥ 0 khi m² - 6m + 1 ≥ 0. Giải bất phương trình này, ta tìm được các giá trị của m thỏa mãn.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong quá trình học tập.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hàm số bậc hai và ứng dụng của nó. Chúc các em học tốt!