Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2 trong chương Đại số tổ hợp của SGK Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào ba khái niệm quan trọng: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Đây là những công cụ cơ bản để đếm số lượng các kết quả có thể xảy ra trong các tình huống khác nhau, đặc biệt trong lĩnh vực xác suất và thống kê.

1. Hoán vị (Permutation)

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Chỉnh hợp (Combination)

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₅² = 5! / (5 - 2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20

3. Tổ hợp (Combination)

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n - k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự hay không:

Hoán vị: Quan tâm đến thứ tự.
Chỉnh hợp: Quan tâm đến thứ tự.
Tổ hợp: Không quan tâm đến thứ tự.

5. Bài tập ví dụ và lời giải

Bài 1: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên muốn chọn 5 cầu thủ để đá chính. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Đây là một bài toán tổ hợp vì thứ tự chọn cầu thủ không quan trọng. Số cách chọn là C₁₁⁵ = 11! / (5! * 6!) = 462

Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: Đây là một bài toán chỉnh hợp vì thứ tự các chữ số quan trọng. Số cách chọn là A₅³ = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 60

6. Ứng dụng của Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Xác suất: Tính xác suất của các sự kiện.
Thống kê: Phân tích dữ liệu và đưa ra kết luận.
Khoa học máy tính: Thuật toán sắp xếp và tìm kiếm.
Mật mã học: Mã hóa và giải mã thông tin.

Hi vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp trong SGK Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!