Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3 trang 29, 30, 31 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong học tập.
Lan vừa mua 4 cuốn sách kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như hình 8
Tính:
a) \(C_7^2\)
b) \(C_9^0 + C_9^9\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)
b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} - \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} - \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)
Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt
a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?
b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp lên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp lên trường?
Phương pháp giải:
a) Số trận đấu là tổ hợp chập 2 của 7
b) Số khả năng là tổ hợp chập 3 của 7
Lời giải chi tiết:
a) Các đội thi đấu vòng tròn một lượt và mỗi lượt đấu sẽ có 2 đội đấu với nhau, nên số trận đấu sẽ là số cách chọn ra 2 đội từ 7 đội, mỗi cách chọn 2 đội từ 7 đội là một tổ hợp chập 2 của 7, từ đó có tất cả số trận đấu là:
\(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = 21\) (trận)
b) Mỗi khả năng ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là một tổ hợp chập 3 của 7 đội, từ đó số khả năng có thể xảy ra của 3 đội đi thi cấp liên trường là
\(C_7^3 = \frac{{7!}}{{3!.4!}} = 35\)
Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như hình 8
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?
Phương pháp giải:
a) Tính tổ hợp chập 2 của 6
b) Tính tổ hợp chập 3 của 6
Lời giải chi tiết:
a) Một đoạn thẳng được tạo bởi 2 điểm bất kì
Nên để có một đoạn thẳng có điểm mút thuộc các điểm đã cho thì ta chọn 2 điểm bất kì từ 6 điểm đã cho, mỗi cách chọn 2 điểm từ 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 2 của 6, từ đó số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho được tạo ra là:
\(C_6^2 = \frac{{6!}}{{2!.4!}} = 15\) (đoạn thẳng)
b) Mỗi tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng, nên để có một tam giác mà các đỉnh của nó là các điểm đã cho thì ta chọn 3 điểm bất kì từ 6 điểm đã cho, mỗi cách chọn 3 điểm từ 6 điểm là một tổ hợp chập 3 của 6, từ đó số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là:
\(C_6^3 = \frac{{6!}}{{3!.3!}} = 20\) (tam giác)
Lan vừa mua 4 cuốn sách kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè
a) Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?
b) Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?
c) Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?
Lời giải chi tiết:
a) Các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách Lan có là:
ABC, ABD, ACD, BCD
Có tất cả 4 cách chọn 3 cuốn sách trong số 4 cuốn sách Lan có để mang về quê
b) Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn sách đã chọn là một hoán vị của 3 cuốn sách, từ đó số cách sắp xếp 3 cuốn sách là số hoán vị của 3 cuốn sách:
\(3! = 3.2.1 = 6\) (cách)
c) Mỗi cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử, từ đó số cách chọn và sắp xếp 3 cuốn sách và sắp xếp chúng là: \(A_4^3 = 4.3.2 = 24\) (cách)
Lan vừa mua 4 cuốn sách kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè
a) Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?
b) Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?
c) Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?
Lời giải chi tiết:
a) Các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách Lan có là:
ABC, ABD, ACD, BCD
Có tất cả 4 cách chọn 3 cuốn sách trong số 4 cuốn sách Lan có để mang về quê
b) Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn sách đã chọn là một hoán vị của 3 cuốn sách, từ đó số cách sắp xếp 3 cuốn sách là số hoán vị của 3 cuốn sách:
\(3! = 3.2.1 = 6\) (cách)
c) Mỗi cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử, từ đó số cách chọn và sắp xếp 3 cuốn sách và sắp xếp chúng là: \(A_4^3 = 4.3.2 = 24\) (cách)
Tính:
a) \(C_7^2\)
b) \(C_9^0 + C_9^9\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)
b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} - \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} - \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)
Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt
a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?
b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp lên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp lên trường?
Phương pháp giải:
a) Số trận đấu là tổ hợp chập 2 của 7
b) Số khả năng là tổ hợp chập 3 của 7
Lời giải chi tiết:
a) Các đội thi đấu vòng tròn một lượt và mỗi lượt đấu sẽ có 2 đội đấu với nhau, nên số trận đấu sẽ là số cách chọn ra 2 đội từ 7 đội, mỗi cách chọn 2 đội từ 7 đội là một tổ hợp chập 2 của 7, từ đó có tất cả số trận đấu là:
\(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = 21\) (trận)
b) Mỗi khả năng ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là một tổ hợp chập 3 của 7 đội, từ đó số khả năng có thể xảy ra của 3 đội đi thi cấp liên trường là
\(C_7^3 = \frac{{7!}}{{3!.4!}} = 35\)
Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như hình 8
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?
Phương pháp giải:
a) Tính tổ hợp chập 2 của 6
b) Tính tổ hợp chập 3 của 6
Lời giải chi tiết:
a) Một đoạn thẳng được tạo bởi 2 điểm bất kì
Nên để có một đoạn thẳng có điểm mút thuộc các điểm đã cho thì ta chọn 2 điểm bất kì từ 6 điểm đã cho, mỗi cách chọn 2 điểm từ 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 2 của 6, từ đó số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho được tạo ra là:
\(C_6^2 = \frac{{6!}}{{2!.4!}} = 15\) (đoạn thẳng)
b) Mỗi tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng, nên để có một tam giác mà các đỉnh của nó là các điểm đã cho thì ta chọn 3 điểm bất kì từ 6 điểm đã cho, mỗi cách chọn 3 điểm từ 6 điểm là một tổ hợp chập 3 của 6, từ đó số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là:
\(C_6^3 = \frac{{6!}}{{3!.3!}} = 20\) (tam giác)
Mục 3 trong SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ trong hình học. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với các khái niệm như tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ, và các ứng dụng của tích vô hướng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách, diện tích, và các tính chất hình học khác.
Bài tập này yêu cầu các em tính tích vô hướng của hai vectơ cho trước. Để làm được điều này, các em cần nắm vững định nghĩa và công thức tính tích vô hướng: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Ví dụ, cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tích vô hướng của a và b là: a.b = (1)(-3) + (2)(4) = -3 + 8 = 5.
Bài tập này yêu cầu các em tìm góc giữa hai vectơ. Sử dụng công thức: cos(θ) = (a.b) / (|a||b|). Sau khi tính được cos(θ), các em sử dụng máy tính để tìm góc θ.
Ví dụ, cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (1; 3). Tích vô hướng của a và b là: a.b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1. Độ dài của a là |a| = √(2² + (-1)²) = √5. Độ dài của b là |b| = √(1² + 3²) = √10. Vậy, cos(θ) = -1 / (√5 * √10) = -1 / √50 = -1 / (5√2). Suy ra, θ ≈ 109.47°.
Bài tập này thường yêu cầu các em chứng minh các tính chất hình học, tính khoảng cách, hoặc diện tích sử dụng tích vô hướng. Ví dụ, để chứng minh hai vectơ vuông góc, các em cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0.
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, các em có thể sử dụng công thức dựa trên tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ nối từ điểm đến một điểm bất kỳ trên đường thẳng.
Khi tính tích vô hướng, hãy chú ý đến dấu của các thành phần vectơ. Khi tìm góc giữa hai vectơ, hãy đảm bảo góc đó nằm trong khoảng từ 0° đến 180°. Luôn kiểm tra lại đơn vị của các đại lượng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả trên đây, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 3 trang 29, 30, 31 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
