Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài học này sẽ đi sâu vào việc khám phá hai phân bố xác suất rời rạc quan trọng trong thống kê: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Đây là nền tảng cơ bản để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến các hiện tượng ngẫu nhiên có kết quả nhị phân (thành công/thất bại).

1. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Một thử nghiệm Bernoulli chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) với xác suất p và thất bại (ký hiệu là 0) với xác suất 1-p.

Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli nếu nó chỉ nhận hai giá trị 0 và 1 với các xác suất tương ứng là P(X=0) = 1-p và P(X=1) = p.
Hàm phân phối xác suất: P(X=x) = p^x(1-p)^1-x, với x ∈ {0, 1}.
Các đặc trưng:
- Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
- Phương sai: Var(X) = p(1-p)

2. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm Bernoulli độc lập và có cùng xác suất thành công p.

Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên Y tuân theo phân bố nhị thức nếu nó biểu thị số lần thành công trong n thử nghiệm Bernoulli độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p.
Hàm phân phối xác suất: P(Y=k) = C_n^k * p^k * (1-p)^n-k, với k ∈ {0, 1, ..., n}. Trong đó C_n^k là tổ hợp chập k của n.
Các đặc trưng:
- Giá trị kỳ vọng: E(Y) = np
- Phương sai: Var(Y) = np(1-p)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Phân bố Bernoulli): Gieo một đồng xu một lần. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X=1) với xác suất p=0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X=0) với xác suất 1-p=0.5.

Ví dụ 2 (Phân bố nhị thức): Gieo một đồng xu 5 lần. Gọi Y là số lần xuất hiện mặt ngửa. Y tuân theo phân bố nhị thức với n=5 và p=0.5. Xác suất để được đúng 3 mặt ngửa là P(Y=3) = C₅³ * (0.5)³ * (0.5)² = 0.3125.

4. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Hai phân bố này có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc mới.
Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
Phân tích rủi ro: Đánh giá khả năng xảy ra một sự kiện nào đó.

5. Bài tập vận dụng

Hãy giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức:

Một xạ thủ bắn vào bia 10 lần, xác suất bắn trúng mỗi lần là 0.8. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng ít nhất 8 lần.
Một hộp chứa 20 bóng đèn, trong đó có 5 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất có đúng 2 bóng đèn bị hỏng.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc bạn học tập tốt!