Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 20 trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, cũng như cách tính góc và khoảng cách giữa chúng. Đây là một chủ đề quan trọng, có ứng dụng rộng rãi trong hình học giải tích và các lĩnh vực khác của toán học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Phương trình đường thẳng: Dạng tổng quát: ax + by + c = 0; Dạng tham số: {x = x0 + at; y = y0 + bt}.
2. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến: Vectơ chỉ phương của đường thẳng có dạng (a; b) trong phương trình tham số. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có dạng (a; b) trong phương trình tổng quát.
3. Góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Sử dụng công thức d = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²).
5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
   • Song song: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương (tỉ lệ) và không trùng nhau.
   • Vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0.
   • Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi không song song và không vuông góc.
   • Trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương và có một điểm chung.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến chủ đề này, cần nắm vững các công thức và lý thuyết đã học. Dưới đây là một số phương pháp giải bài tập thường gặp:

• Xác định vị trí tương đối: Tìm vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng, sau đó so sánh chúng để xác định vị trí tương đối.
• Tính góc: Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến.
• Tính khoảng cách: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
• Tìm phương trình đường thẳng: Sử dụng các thông tin đã cho (ví dụ: điểm đi qua, hệ số góc, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến) để tìm phương trình đường thẳng.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: 2x - y + 3 = 0 và d2: x + y - 1 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng này.

Giải:

Vectơ pháp tuyến của d1 là (2; -1). Vectơ pháp tuyến của d2 là (1; 1). Ta thấy hai vectơ này không cùng phương, do đó hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d1: x - √3y + 1 = 0 và d2: x + y - 2 = 0.

Giải:

Vectơ pháp tuyến của d1 là (1; -√3). Vectơ pháp tuyến của d2 là (1; 1). Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

cos α = |(1 * 1 + (-√3) * 1)| / √(1² + (-√3)²) * √(1² + 1²) = |1 - √3| / (2 * √2) = (√3 - 1) / (2√2) ≈ 0.2588

α ≈ 75°

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1: 3x + 2y - 5 = 0 và d2: 6x + 4y - 10 = 0.
• Bài 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d1: x - 2y + 3 = 0 và d2: 2x + y - 1 = 0.
• Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em sẽ học tốt môn Toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.