Bài 26. Khoảng cách

Bài 26. Khoảng cách - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Bài 26 tập trung vào việc tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian, bao gồm:

• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Để tính toán các khoảng cách này, chúng ta cần nắm vững các công thức và định lý liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian, đặc biệt là:

• Định lý ba đường vuông góc
• Công thức tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P): d(O, (P)) = |MA| với M thuộc (P) và OM vuông góc (P)
• Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d = |[a.b].c| / |[a.b]|, với a, b là vector chỉ phương của hai đường thẳng và c là vector nối hai điểm thuộc hai đường thẳng.

II. Giải bài tập

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

Đề bài: Cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 1 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P).

Lời giải:

1. Chọn một điểm M bất kỳ thuộc mặt phẳng (P). Ví dụ, chọn x = 0, y = 0 thì z = 1. Vậy M(0; 0; 1) thuộc (P).
2. Tính vector AM = (-1; -2; 2).
3. Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (2; -1; 1).
4. Áp dụng công thức tính khoảng cách: d(A, (P)) = |AM.n| / |n| = |(-1)*2 + (-2)*(-1) + 2*1| / sqrt(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = |2 + 2 + 2| / sqrt(6) = 3 / sqrt(6) = sqrt(6) / 2.

Bài 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đề bài: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và d2: x = 2 - s, y = 1 - s, z = 4 - s. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Lời giải:

1. Tìm vector chỉ phương của d1: a = (1; 1; 1) và d2: b = (-1; -1; -1).
2. Chọn một điểm A thuộc d1: A(1; 2; 3) và một điểm B thuộc d2: B(2; 1; 4).
3. Tính vector AB = (1; -1; 1).
4. Tính tích có vector của a và b: [a.b] = (0; 0; 0). Vì [a.b] = 0, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Kiểm tra lại, thấy hai đường thẳng song song.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1 và d2 là: d = |AB.n| / |n|, với n là vector pháp tuyến của cả hai đường thẳng. Trong trường hợp này, n = [a.b] = (0;0;0), nên cần chọn một vector vuông góc với cả a và b. Vì a và b cùng phương, nên không thể tìm được vector vuông góc. Do đó, ta chọn một điểm C trên d1 và tính khoảng cách từ C đến d2.
6. Chọn C(2;3;4) trên d1. Khoảng cách từ C đến d2 là d = |(C-B).b| / |b| = |(0; -2; 0).(-1; -1; -1)| / sqrt(3) = |2| / sqrt(3) = 2/sqrt(3) = (2*sqrt(3))/3.

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Đề bài: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): x + y + z - 5 = 0. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).

Lời giải:

1. Chọn một điểm A thuộc (P). Ví dụ, chọn x = 0, y = 0 thì z = 1. Vậy A(0; 0; 1) thuộc (P).
2. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ A đến (Q): d(A, (Q)) = |0 + 0 + 1 - 5| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = |-4| / sqrt(3) = 4 / sqrt(3) = (4*sqrt(3))/3.

III. Luyện tập thêm

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về khoảng cách trong không gian.

Chúc các em học tốt!