Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Khoảng cách trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về cách tính khoảng cách trong không gian hình học.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các công thức, phương pháp giải bài tập và ứng dụng thực tế của lý thuyết này. Hãy sẵn sàng để khám phá và chinh phục những thử thách toán học!
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu là d(M, a), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.
- Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), kí hiệu d(M, (P)), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).
Chú ý: d(M, a) = 0 khi và chỉ khi \(M \in a;d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 0\) khi và chỉ khi \(M \in \left( P \right)\).
Nhận xét: Khoảng cách từ M đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc a (thuộc (P)).
Chú ý: Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, kí hiệu d(a, (P)), là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), kí hiệu d((P), (Q)), là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n, kí hiệu d(m, n), là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng \(\Delta \) cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Nếu đường vuông góc chung \(\Delta \) cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương ứng chứa hai đường thẳng đó.
Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần Lý thuyết Khoảng cách đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về các khái niệm, công thức và phương pháp tính khoảng cách, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.
Khoảng cách là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm. Trong không gian, khoảng cách có thể là khoảng cách giữa hai điểm, giữa một điểm và một đường thẳng, hoặc giữa hai đường thẳng.
Cho hai điểm A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB) trong không gian Oxyz. Khoảng cách AB được tính theo công thức:
AB = √((xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2)
Cho điểm M(x0, y0, z0) và đường thẳng Δ có phương trình:
Δ: { x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct }
Khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:
d = |[ (x0 - x1)b - (y0 - y1)a ]| / √(a2 + b2 + c2)
Trong đó (x1, y1, z1) là một điểm thuộc đường thẳng Δ.
Có hai trường hợp chính:
Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song, khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên Δ1 đến Δ2 (hoặc ngược lại).
Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 chéo nhau, khoảng cách giữa chúng được tính bằng công thức:
d = |( (a1, b1, c1) x (a2, b2, c2) ) . (M1 - M2)| / |(a1, b1, c1) x (a2, b2, c2)|
Trong đó:
Lý thuyết Khoảng cách có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).
Giải: AB = √((4-1)2 + (5-2)2 + (6-3)2) = √(32 + 32 + 32) = √27 = 3√3
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + t; y = 2 + t; z = 3 + t.
Giải: Chọn điểm N(1, 2, 3) thuộc Δ. MN = √((1-0)2 + (2-0)2 + (3-0)2) = √14
Lý thuyết Khoảng cách là một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp tính khoảng cách sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và tự tin. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
