Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập - Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương VIII, các quy tắc tính xác suất, việc hiểu rõ các loại biến cố là nền tảng quan trọng. Bài 28 tập trung vào ba loại biến cố cơ bản: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá từng khái niệm một cách chi tiết.

1. Biến cố hợp (Union of Events)

Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao (Intersection of Events)

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra đồng thời.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập, cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

3. Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Điều kiện để A và B độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. Gọi A là biến cố “mặt ra là số chẵn” và B là biến cố “mặt ra là số lớn hơn 3”.

• A = {2, 4, 6} => P(A) = 3/6 = 1/2
• B = {4, 5, 6} => P(B) = 3/6 = 1/2
• A ∩ B = {4, 6} => P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3

Kiểm tra tính độc lập: P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4 ≠ 1/3. Vậy A và B không độc lập.

Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. Gọi A là biến cố “lá bài rút được là át” và B là biến cố “lá bài rút được là cơ”.

• P(A) = 4/52 = 1/13
• P(B) = 13/52 = 1/4
• P(A ∩ B) = 1/52 (chỉ có một lá át cơ)

Kiểm tra tính độc lập: P(A) * P(B) = (1/13) * (1/4) = 1/52. Vậy A và B độc lập.

Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
2. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
3. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng ít nhất một phát.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế. Chúc các em học tốt!