Bài 3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và ứng dụng thực tế.

I. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

II. Các tính chất của cấp số nhân

1. Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
• Nếu q = 1: S_n = n.a
• Nếu q ≠ 1: S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q)

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức u_n = a.q^n-1, ta có u₅ = 2.3^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = -2. Tính tổng 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q), ta có S₆ = 1.(1 - (-2)⁶) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

• Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
• Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.
• Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến cấp số nhân.

V. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cấp số nhân. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!