Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11: Lý thuyết và Bài tập

1. Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công bội (thường ký hiệu là q).

Công thức tổng quát của cấp số nhân:

u_n = u₁ * q^n-1

Trong đó:

u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân.
u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
q là công bội của cấp số nhân.

2. Tính chất của cấp số nhân

Một số tính chất quan trọng của cấp số nhân:

Nếu u_n = 0 với một n nào đó thì u_k = 0 với mọi k ≥ n.
Nếu u₁ ≠ 0 và u₂ ≠ 0 thì công bội q = u₂ / u₁.

3. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về cấp số nhân thường xoay quanh các chủ đề sau:

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: Sử dụng công thức u_n = u₁ * q^n-1.
Tìm công bội của cấp số nhân: Sử dụng công thức q = u_n+1 / u_n.
Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

a. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (q ≠ 1)

Công thức:

S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

b. Tổng vô hạn của cấp số nhân lùi (|q| < 1)

Công thức:

S = u₁ / (1 - q)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu tiên u₁ = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải:

u₅ = u₁ * q^5-1 = 2 * 3⁴ = 2 * 81 = 162

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu tiên u₁ = 1 và tổng vô hạn S = 2. Tìm công bội q.

Giải:

S = u₁ / (1 - q) => 2 = 1 / (1 - q) => 1 - q = 1/2 => q = 1/2

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có số hạng đầu tiên u₁ = 5 và công bội q = 2.
Bài 2: Tính tổng 7 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu tiên u₁ = 3 và công bội q = -2.
Bài 3: Tìm công bội của cấp số nhân biết u₁ = 1 và u₅ = 16.

6. Kết luận

Bài 3. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài tập về cấp số nhân sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!