Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 3 trong chương VIII của sách Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất trong hình học không gian: hai mặt phẳng vuông góc. Hiểu rõ về hai mặt phẳng vuông góc là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian và phép chiếu song song.

1. Khái niệm hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng. Nếu đường thẳng này tạo với mỗi mặt phẳng một góc vuông thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Có một số điều kiện để xác định hai mặt phẳng vuông góc:

Điều kiện 1: Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
Điều kiện 2: Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Định lý về hai mặt phẳng vuông góc

Một định lý quan trọng liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc là:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

4. Ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc

Khái niệm hai mặt phẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học không gian:

Tính góc giữa hai mặt phẳng: Sử dụng các định lý và công thức liên quan để tính góc giữa hai mặt phẳng.
Xác định quan hệ vuông góc: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc dựa trên các điều kiện đã học.
Giải các bài toán về phép chiếu song song: Hai mặt phẳng vuông góc đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán về phép chiếu song song.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng (SAD) và (SBC) vuông góc với nhau.

Giải:

Vì SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với AD và BC.
Xét tam giác SAD, có SO vuông góc với AD. Suy ra AD vuông góc với (SO, D).
Tương tự, xét tam giác SBC, có SO vuông góc với BC. Suy ra BC vuông góc với (SO, C).
Do đó, (SAD) và (SBC) vuông góc với nhau.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.

7. Kết luận

Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ khái niệm, điều kiện và định lý liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!