Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc

Trong chương 8 của sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo, bài 3 tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: hai mặt phẳng vuông góc. Việc hiểu rõ về hai mặt phẳng vuông góc là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.

1. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định hai mặt phẳng vuông góc, ta cần tìm một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với mặt phẳng thứ hai. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thứ hai, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Định lý 1:

Nếu mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q) thì (P) vuông góc với (Q).

Định lý 2:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng d nào nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

2. Các dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc

Ngoài điều kiện cơ bản, còn có một số dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc:

Dấu hiệu 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Dấu hiệu 2: Nếu hai mặt phẳng có một giao tuyến và các đường thẳng vuông góc với giao tuyến tại điểm thuộc giao tuyến nằm trong cả hai mặt phẳng thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

3. Ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc trong giải toán

Kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Chứng minh tính vuông góc của hai mặt phẳng.
Xác định các yếu tố hình học liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.

Ví dụ minh họa:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng (SMC) vuông góc với (SAD).

Lời giải:

Ta có SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD.
Vì M là trung điểm của CD nên CD ⊥ SM.
Do đó, CD ⊥ (SAM).
Vì CD ⊂ (ABCD) và SA ⊥ (ABCD) nên CD ⊥ SA.
Xét mặt phẳng (SMC) và (SAD). Ta có SM ⊥ MC và SA ⊥ AD.
Vậy (SMC) ⊥ (SAD).

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 2: Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau nếu (P) chứa đường thẳng d vuông góc với (Q).
Bài 3: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi biết giao tuyến của chúng.

5. Kết luận

Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về điều kiện, dấu hiệu nhận biết và ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán hình học không gian. Chúc các em học tập tốt!