Bài 3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò nền tảng trong việc nghiên cứu các tính chất đối xứng của hình. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép đối xứng trục, bao gồm định nghĩa, tính chất, biểu thức đại số và ứng dụng trong giải toán.

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục D_a qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho a là đường trung trực của đoạn thẳng MM’. Nói cách khác, MM’ vuông góc với a và trung điểm của MM’ nằm trên a.

2. Tính chất của phép đối xứng trục

Bảo toàn khoảng cách: Nếu MN = M’N’ thì MN = M’N’.
Bảo toàn góc: Nếu ∠(MN, MP) = α thì ∠(M’N’, M’P’) = α.
Biến đường thẳng vuông góc với trục thành chính nó.
Biến đường thẳng song song với trục thành đường thẳng song song với trục đó.

3. Biểu thức đại số của phép đối xứng trục

Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng a có phương trình ax + by + c = 0. Khi đó, phép đối xứng trục D_a biến điểm M(x₀, y₀) thành điểm M’(x’, y’) có tọa độ được xác định bởi công thức:

{ "x' = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)", "y' = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)" }

4. Ứng dụng của phép đối xứng trục trong giải toán

Phép đối xứng trục được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính đối xứng của hình. Một số ứng dụng cụ thể bao gồm:

Chứng minh tính chất đối xứng của hình.
Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng.
Giải các bài toán về quỹ tích.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm A(1, 2) qua phép đối xứng trục D_a với a có phương trình x - y + 1 = 0.

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

ax₀ + by₀ + c = 1 - 2 + 1 = 0

Do đó, x’ = 1 và y’ = 2. Vậy A’(1, 2) chính là điểm A.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hai tam giác đối xứng qua một đường thẳng thì bằng nhau.

Giải:

Gọi tam giác ABC và A’B’C’ đối xứng qua đường thẳng a. Khi đó, AB = A’B’, BC = B’C’ và CA = C’A’. Theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

6. Bài tập luyện tập

Tìm ảnh của điểm B(-2, 3) qua phép đối xứng trục D_a với a có phương trình 2x + y - 5 = 0.
Chứng minh rằng đường tròn (C) đối xứng qua đường thẳng a thì tâm của (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với a và đi qua trung điểm của hai điểm đối xứng nhau trên (C).

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép đối xứng trục. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.