Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 3 trong chương 5 của sách Toán 12 Cánh diều tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các đối tượng hình học ba chiều và cách biểu diễn chúng bằng phương trình toán học.

1. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách đến một điểm cố định (tâm của mặt cầu) bằng một độ dài không đổi (bán kính của mặt cầu). Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm I(a, b, c) và bán kính R là:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

2. Các dạng phương trình của mặt cầu

• Phương trình chính tắc: Khi tâm mặt cầu trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0), phương trình trở thành: x² + y² + z² = R²
• Phương trình tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, với a² + b² + c² - d > 0. Trong đó, tâm I(a, b, c) và bán kính R = √(a² + b² + c² - d)

3. Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Phương trình x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:

a² + b² + c² - d > 0

4. Các bài toán thường gặp và phương pháp giải

• Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Từ phương trình mặt cầu, ta có thể xác định tọa độ tâm và bán kính bằng cách so sánh với các dạng phương trình đã biết.
• Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính: Sử dụng phương trình chính tắc hoặc phương trình tổng quát để viết phương trình mặt cầu.
• Xác định xem một điểm có nằm trên mặt cầu hay không: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu. Nếu phương trình thỏa mãn, điểm nằm trên mặt cầu.
• Tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng: Giải hệ phương trình gồm phương trình mặt cầu và phương trình đường thẳng.
• Tìm giao tuyến của hai mặt cầu: Giải hệ phương trình gồm phương trình hai mặt cầu.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0

Giải: So sánh với phương trình tổng quát, ta có: a = 2, b = -1, c = 3, d = 5. Vậy tâm I(2, -1, 3) và bán kính R = √(2² + (-1)² + 3² - 5) = √6

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, 2, -3) và bán kính R = 5.

Giải: Sử dụng phương trình chính tắc, ta có: (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 25

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong quá trình học tập.

7. Kết luận

Bài 3. Phương trình mặt cầu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập tốt!