Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 Cánh Diều tại giaitoan.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, công thức và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về phương trình mặt cầu trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các dạng phương trình mặt cầu, cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu, cũng như các ứng dụng thực tế của kiến thức này.
1. Định nghĩa mặt cầu
1. Định nghĩa mặt cầu
| Cho trước điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R. |
Nhận xét: Cho mặt cầu S(I;R).
Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.
Nếu IM < R thì M nằm ngoài mặt cầu.
Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I(-2;1;5) bán kính 3. Các điểm A(10;1;2), B(0;1;4), C(0;3;4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?
Giải:
Do \(IA = \sqrt {{{\left( {10 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {153} > 3\) nên điểm A(10;1;2) nằm ngoài mặt cầu đó.
Do \(IB = \sqrt {{{\left( {0 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 5 < 3\) nên điểm B(0;1;4) nằm trong mặt cầu đó.
Do \(IC = \sqrt {{{\left( {0 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 9 = 3\) nên điểm C(0;3;4) nằm trên mặt cầu đó.
2. Phương trình mặt cầu
Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) |
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu, biết:
a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 10.
b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).
Giải:
a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;3) bán kính R = 10 là \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 100\).
b) Bán kính mặt cầu là \(R = IB = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{(1 + 5)}^2}} = \sqrt {54} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính \(R = \sqrt {54} \) là \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^3} = 54\).
Nhận xét:
Cho mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\). Ta có thể viết phương trình đó dưới dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}\).
Dạng phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) xác định một mặt cầu khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) với tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Ví dụ 2: Mỗi phương tình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?
a) \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\).
b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\).
Giải:
a) Phương trình \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\) không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) khác nhau.
b) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\) không phải phương trình mặt cầu vì không có biểu thức \({z^2}\).
Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\).
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\).
Giải:
a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = 2;b = - 5;c = 1;d = 14\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 25 + 1 - 14 = 16 > 0\).
Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2;-5;1), bán kính R = 4.
b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = - 1;b = - 2;c = 3;d = 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 + 9 - 20 = - 6 < 0\).
Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.
2. Vận dụng của phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như thiết kế xây dựng, tính toán các yếu tố kĩ thuật,…
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(−3;2;7).
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km.
b) Điểm A(−2;1;8) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm A(−2;1;8) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
c) Điểm B(2;3;4) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm B(2;3;4) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
Giải:
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 7)^2} = 9\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( { - 2 - ( - 3)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {8 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 3 < 3\).
Vì IA < R nên điểm A nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm A(−2;1;8) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
c) Ta có: \(IB = \sqrt {{{\left( { - 2 - ( - 3)} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 7} \right)}^2}} = \sqrt {35} > 3\).
Vì IB > R nên điểm B nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm B(2;3;4) không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trong chương trình Toán 12, phần hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và phương trình mặt cầu là một trong những kiến thức cốt lõi. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phương trình mặt cầu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải bài tập.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách đến một điểm cố định (gọi là tâm) bằng một độ dài không đổi (gọi là bán kính). Kí hiệu: S(I; R), trong đó I là tâm và R là bán kính.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R được biểu diễn như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Phương trình x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:
a² + b² + c² - d > 0
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là: (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25
Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0
Giải:
Lý thuyết phương trình mặt cầu là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các định nghĩa, công thức và các dạng phương trình sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
