Bài 4. Phương trình mặt cầu

Bài 4. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12: Tổng quan

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 2 tập trung vào việc tìm hiểu về phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các đối tượng hình học ba chiều và cách biểu diễn chúng bằng phương trình toán học.

1. Định nghĩa mặt cầu và các yếu tố cơ bản

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách này được gọi là bán kính của mặt cầu. Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm I(a, b, c) và bán kính R được biểu diễn như sau:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

2. Các dạng phương trình của mặt cầu

• Phương trình chính tắc: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
• Phương trình tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (với d = a² + b² + c² - R²)

3. Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Phương trình x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:

a² + b² + c² - d > 0

4. Các bài toán thường gặp và phương pháp giải

a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình

Cho phương trình mặt cầu (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², tâm của mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính là R.

Nếu cho phương trình tổng quát, ta cần đưa về dạng chính tắc để xác định tâm và bán kính.

b. Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Nếu biết tâm I(a, b, c) và bán kính R, ta có thể viết phương trình mặt cầu theo công thức (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

c. Xác định mặt cầu đi qua các điểm cho trước

Để xác định mặt cầu đi qua các điểm cho trước, ta cần tìm tâm và bán kính của mặt cầu. Thông thường, ta sẽ sử dụng hệ phương trình để giải quyết bài toán này.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x + 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 9.

Giải: Tâm của mặt cầu là I(-1, 2, -3) và bán kính là R = √9 = 3.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0, 0, 0) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu là x² + y² + z² = 25.

6. Bài tập luyện tập

1. Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
   • (x - 2)² + (y + 1)² + z² = 4
   • x² + y² + z² - 6x + 2y - 8z + 1 = 0
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, -2, 3) và bán kính R = 2.
3. Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), D(1, 1, 1).

7. Kết luận

Bài 4. Phương trình mặt cầu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.