Bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này thuộc chủ đề về số phức và thường gây khó khăn cho học sinh.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \); b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\); c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
Đề bài
Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:
a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \);
b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\);
c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
2. Xác định bán kính:
- Sử dụng độ dài bán kính \(r\) nếu đã cho.
- Nếu biết một điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) nằm trên mặt cầu và tâm \(C\), tính \(R\) bằng cách:
\(R = \sqrt {{{({x_1} - a)}^2} + {{({y_1} - b)}^2} + {{({z_1} - c)}^2}} \)
- Nếu biết đường kính AB, tính bán kính bằng cách:
\(R = \frac{1}{2} \cdot AB\)
Lời giải chi tiết
a) Tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \). Phương trình mặt cầu là:
\({(x + 4)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 6\)
b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\). - Tính bán kính \(R = CA\):
\(R = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2} + {{( - 1 - 5)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {9 + 9 + 36} = \sqrt {54} = 3\sqrt 6 \)
- Phương trình mặt cầu là:
\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 54\)
c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
- Tọa độ tâm \(I\) là trung điểm của AB:
\(I = \left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2},\frac{{3 + 1}}{2},\frac{{7 - 3}}{2}} \right) = ( - 1,2,2)\)
- Bán kính \(R = \frac{1}{2}AB\):
\(AB = \sqrt {{{(2 + 4)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{( - 3 - 7)}^2}} = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2}} = \sqrt {36 + 4 + 100} = \sqrt {140} = 2\sqrt {35} \)
\(R = \frac{{2\sqrt {35} }}{2} = \sqrt {35} \)
- Phương trình mặt cầu là:
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 2)^2} = 35\)
Bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu giải phương trình chứa số phức. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về số phức, bao gồm dạng đại số của số phức, phép cộng, trừ, nhân, chia số phức, và phương trình bậc hai với hệ số phức.
Giải các phương trình sau:
Để giải phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 với a, b, c là các số phức, ta sử dụng công thức nghiệm:
z1,2 = (-b ± √(Δ)) / 2a
Trong đó, Δ = b2 - 4ac là biệt thức. Lưu ý rằng, khi Δ là một số phức, ta cần tính căn bậc hai của số phức đó.
Ta có a = 1, b = 2, c = 5. Khi đó, Δ = b2 - 4ac = 22 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16.
√Δ = √(-16) = 4i
Vậy, z1,2 = (-2 ± 4i) / 2 = -1 ± 2i
Nghiệm của phương trình là z1 = -1 + 2i và z2 = -1 - 2i
Ta có a = 1, b = -4, c = 13. Khi đó, Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 1 * 13 = 16 - 52 = -36.
√Δ = √(-36) = 6i
Vậy, z1,2 = (4 ± 6i) / 2 = 2 ± 3i
Nghiệm của phương trình là z1 = 2 + 3i và z2 = 2 - 3i
Ta có a = 1, b = 1, c = 1. Khi đó, Δ = b2 - 4ac = 12 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3.
√Δ = √(-3) = i√3
Vậy, z1,2 = (-1 ± i√3) / 2
Nghiệm của phương trình là z1 = (-1 + i√3) / 2 và z2 = (-1 - i√3) / 2
Ta có a = 1, b = -3, c = 4. Khi đó, Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = -7.
√Δ = √(-7) = i√7
Vậy, z1,2 = (3 ± i√7) / 2
Nghiệm của phương trình là z1 = (3 + i√7) / 2 và z2 = (3 - i√7) / 2
Bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 đã được giải chi tiết. Hy vọng rằng, với lời giải này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về phương pháp giải phương trình bậc hai với hệ số phức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để xem thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.
