Bài 4. Phương trình mũ, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 4. Phương trình mũ, bất phương trình mũ và lôgarit - Giải chi tiết SGK Toán 11 Cánh diều

Bài 4 trong chương trình Toán 11 tập 2, sách Cánh diều, tập trung vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit. Đây là một phần quan trọng của chương trình, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán.

I. Lý thuyết cơ bản

1. Phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Ví dụ: 2^x = 8.

2. Bất phương trình mũ: Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Ví dụ: 3^x > 9.

3. Lôgarit: Lôgarit của một số dương a theo cơ số b (b > 0, b ≠ 1) là số x sao cho b^x = a. Ký hiệu: log_ba = x.

4. Phương trình lôgarit: Phương trình lôgarit là phương trình có chứa lôgarit. Ví dụ: log₂x = 3.

5. Bất phương trình lôgarit: Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa lôgarit. Ví dụ: log₃x < 2.

II. Các phương pháp giải phương trình mũ

1. Đưa về cùng cơ số: Nếu có thể, hãy đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ số.
2. Lấy lôgarit hai vế: Sử dụng hàm lôgarit để loại bỏ số mũ.
3. Đặt ẩn phụ: Đôi khi, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.

III. Các phương pháp giải bất phương trình mũ

1. Xét hàm số mũ: Xác định tính đơn điệu của hàm số mũ để giải bất phương trình.
2. Lấy lôgarit hai vế: Lưu ý đổi dấu bất phương trình khi lấy lôgarit của một số nhỏ hơn 1.

IV. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

1. Sử dụng định nghĩa lôgarit: Chuyển phương trình về dạng b^x = a.
2. Sử dụng các tính chất của lôgarit: Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit để đơn giản hóa phương trình.

V. Các phương pháp giải bất phương trình lôgarit

1. Xét hàm số lôgarit: Xác định tính đơn điệu của hàm số lôgarit để giải bất phương trình.
2. Lưu ý điều kiện xác định: Đảm bảo rằng các biểu thức trong lôgarit luôn dương.

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 2^x = 16.

Giải: Ta có 2^x = 2⁴, suy ra x = 4.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 3^x > 27.

Giải: Ta có 3^x > 3³, suy ra x > 3.

Ví dụ 3: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3.

Giải: Ta có x + 1 = 2³ = 8, suy ra x = 7.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình log₃(2x - 1) < 2.

Giải: Ta có 2x - 1 < 3² = 9, suy ra 2x < 10, suy ra x < 5. Đồng thời, điều kiện xác định là 2x - 1 > 0, tức là x > 1/2. Vậy nghiệm của bất phương trình là 1/2 < x < 5.

VII. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về phương trình mũ, bất phương trình mũ và lôgarit, các em cần luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu trực tuyến khác để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!