Lý thuyết Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit - Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit - Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về Phương trình và Bất phương trình Mũ và Lôgarit dành cho học sinh lớp 11 chương trình Cánh Diều. Đây là một trong những chủ đề quan trọng của môn Toán, đòi hỏi sự nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit.

1. Phương trình mũ Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Với \(a > 0,a \ne 1\) thì

\({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b\) với b >0;
\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản ẩn x có dạng \({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\). Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Với \(a > 0,a \ne 1\) thì

\({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\).
\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

3. Bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ \({a^x} > b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu \(b \le 0\), tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\);

- Nếu b > 0, a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\);

- Nếu b > 0, 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\).

Các bất phương trình mũ cơ bản khác được giải tương tự.

4. Bất phương trình lôgarit

Xét bất phương trình lôgarit \({\log _a}x > b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {a^b}\).

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < \({a^b}\).

Các bất phương trình lôgarit cơ bản khác được giải tương tự.

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Cánh diều 1

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Cánh diều – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit - Toán 11 Cánh Diều

Chương trình Toán 11 Cánh Diều, phần Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết hiệu quả.

I. Khái niệm cơ bản

1. Phương trình mũ: Là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Dạng tổng quát: a^x = b (với a > 0, a ≠ 1, b > 0).

2. Bất phương trình mũ: Là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Dạng tổng quát: a^x > b (với a > 0, a ≠ 1).

3. Phương trình lôgarit: Là phương trình có chứa lôgarit của một biểu thức chứa ẩn số. Dạng tổng quát: log_a(f(x)) = b (với a > 0, a ≠ 1).

4. Bất phương trình lôgarit: Là bất phương trình có chứa lôgarit của một biểu thức chứa ẩn số. Dạng tổng quát: log_a(f(x)) > b (với a > 0, a ≠ 1).

II. Các tính chất quan trọng

1. Tính chất của lũy thừa:

a^m . aⁿ = a^m+n
a^m : aⁿ = a^m-n
(a^m)ⁿ = a^m.n
(a.b)ⁿ = aⁿ . bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

2. Tính chất của lôgarit:

log_a(x.y) = log_a(x) + log_a(y)
log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
log_a(xⁿ) = n.log_a(x)
log_a(1) = 0
log_a(a) = 1

III. Phương pháp giải phương trình mũ

1. Đưa về cùng cơ số: Nếu có thể, hãy đưa phương trình về cùng một cơ số để so sánh số mũ.

2. Lấy lôgarit hai vế: Sử dụng hàm lôgarit để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

3. Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.

IV. Phương pháp giải bất phương trình mũ

1. Xét hàm số mũ: Phân tích hàm số mũ để xác định tính đơn điệu và tìm khoảng giá trị của x.

2. Sử dụng tính chất đơn điệu: Nếu hàm số mũ đơn điệu, ta có thể so sánh số mũ để giải bất phương trình.

3. Lấy lôgarit hai vế (cần chú ý điều kiện): Khi lấy lôgarit hai vế, cần đảm bảo rằng cả hai vế đều dương.

V. Phương pháp giải phương trình lôgarit

1. Đưa về dạng cơ bản: Sử dụng các tính chất của lôgarit để đưa phương trình về dạng log_a(f(x)) = b.

2. Chuyển đổi sang dạng mũ: Sử dụng định nghĩa của lôgarit để chuyển phương trình về dạng mũ: f(x) = a^b.

3. Kiểm tra điều kiện: Sau khi giải phương trình, cần kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện xác định của lôgarit hay không.

VI. Phương pháp giải bất phương trình lôgarit

1. Xét hàm số lôgarit: Phân tích hàm số lôgarit để xác định tính đơn điệu và tìm khoảng giá trị của x.

2. Sử dụng tính chất đơn điệu: Nếu hàm số lôgarit đơn điệu, ta có thể so sánh giá trị của biểu thức trong lôgarit để giải bất phương trình.

3. Chú ý điều kiện xác định: Luôn đảm bảo rằng biểu thức trong lôgarit phải dương.

VII. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 2^x+1 = 8

Giải: 2^x+1 = 2³ => x + 1 = 3 => x = 2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log₂(x - 1) > 3

Giải: x - 1 > 2³ => x - 1 > 8 => x > 9

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!