Bài 5: Khoảng cách

Bài 5: Khoảng cách trong chương trình Hình học lớp 11 Nâng cao là một phần quan trọng của chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc. Bài học này cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tính toán khoảng cách giữa các điểm, giữa điểm và đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để hiểu rõ về khoảng cách trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:

• Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B), khoảng cách AB được tính theo công thức:
• AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M(x_M, y_M, z_M) và đường thẳng Δ có phương trình:
• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct
• Khoảng cách d từ M đến Δ được tính theo công thức: d = |[AM x u]| / |u|, trong đó u là vectơ chỉ phương của Δ và AM là vectơ từ A (một điểm trên Δ) đến M.
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M(x_M, y_M, z_M) và mặt phẳng (P) có phương trình:
• Ax + By + Cz + D = 0
• Khoảng cách d từ M đến (P) được tính theo công thức: d = |Ax_M + By_M + Cz_M + D| / √(A² + B² + C²)

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về khoảng cách, bạn cần:

1. Xác định đúng các đối tượng hình học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng).
2. Tìm tọa độ của các điểm và các vectơ cần thiết.
3. Áp dụng đúng công thức tính khoảng cách.
4. Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ có phương trình: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t.

Giải:

Chọn A(1, 2, 3) thuộc Δ. AM = (1, 2, 3). Vectơ chỉ phương của Δ là u = (1, 1, 1). AM x u = (1, -2, 1). |AM x u| = √(1² + (-2)² + 1²) = √6. |u| = √3. d = √6 / √3 = √2

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm C(-1, 0, 2) và D(3, -2, 1).
• Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm E(2, -1, 3) đến mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
• Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm F(1, 1, 1) đến đường thẳng Δ: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t.

V. Kết luận

Bài 5: Khoảng cách là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 Nâng cao. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách trong không gian. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!