Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 35 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?
Lời giải chi tiết
a. Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI ⊥ AB.
Tương tự như trên ta cũng có JI ⊥ CD. Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.
b. Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.
Thật vậy, vì IJ ⊥ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :
\(\eqalign{ & A{C^2} + A{D^2} = 2A{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr & B{C^2} + B{D^2} = 2B{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr} \)
Từ đó ta có : \(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)
Tương tự như trên ta cũng có :
\(C{B^2} + C{A^2} = D{B^2} + D{A^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(A{D^2} - B{C^2} = B{C^2} - D{A^2},\) tức là DA = BC và từ (1) ta cũng có AC = BD.
Bài 35 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu học sinh chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích bài toán để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, bài toán sẽ cung cấp một hình chóp hoặc một hình đa diện, và yêu cầu chứng minh một đường thẳng nào đó vuông góc với một mặt phẳng. Việc vẽ hình chính xác và đầy đủ là rất quan trọng để có thể nhìn thấy rõ mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể của Câu 35 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao được đưa ra ở đây. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng SH vuông góc với (ABCD).)
Lời giải:
Ngoài bài toán trên, còn rất nhiều dạng bài tập tương tự liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Để giải các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, và áp dụng linh hoạt các định nghĩa, điều kiện và tính chất đã học. Ngoài ra, việc vẽ hình chính xác và đầy đủ cũng rất quan trọng để có thể nhìn thấy rõ mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài Câu 35 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao này, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Hình học!
