giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: phương trình mặt phẳng

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng - Hình Học 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập, cũng như phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề "Phương trình mặt phẳng". Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. **I. Tổng Quan Về Phương Trình Mặt Phẳng** Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cùng nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz: * **Phương trình tổng quát của mặt phẳng:** \(Ax + By + Cz + D = 0\), với \(\vec{n} = (A; B; C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. * **Mặt phẳng đi qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A; B; C)\):** \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\). * **Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A, B, C\):** Tìm hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\), sau đó tính tích có hướng \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) để tìm vectơ pháp tuyến. * **Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB:** Tìm trung điểm I của AB và vectơ \(\overrightarrow{AB}\), sau đó sử dụng I làm điểm đi qua và \(\overrightarrow{AB}\) để tìm vectơ pháp tuyến. * **Mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước:** Có cùng vectơ pháp tuyến. * **Khoảng cách từ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\):** \(d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\). **II. Giải Chi Tiết Các Bài Tập** **Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 1:** Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm \(M(1; – 2;4)\) và nhận \(\vec n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến. b) Đi qua điểm \(A(0; – 1;2)\) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow u = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow v = ( – 3;0;1).\). c) Đi qua ba điểm \(A( – 3;0;0)\), \(B(0; – 2;0)\) và \(C(0;0; – 1).\). **Lời giải:** a) Áp dụng công thức mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến: \(2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0\) hay \(2x + 3y + 5z – 16 = 0\). b) Tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng: \(\vec n = \vec u \wedge \vec v = (2; – 6;6)\). Phương trình mặt phẳng: \(2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0\) hay \(x – 3y + 3z – 9 = 0\). c) Tìm hai vectơ \(\overrightarrow{AB} = (3; – 2;0)\), \(\overrightarrow{AC} = (3;0; – 1)\). Tính tích có hướng: \(\overrightarrow n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (2;3;6)\). Phương trình mặt phẳng: \(2(x + 3) + 3(y – 0) + 6(z – 0) = 0\) hay \(2x + 3y + 6z + 6 = 0\). **Bài 2:** Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2;3;7)\), \(B(4;1;3).\). **Lời giải:** Tìm trung điểm \(I = (3;2;5)\) và vectơ \(\overrightarrow{AB} = (2; – 2; – 4)\). Vectơ pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow{AB} = (1; – 1; – 2)\). Phương trình mặt phẳng: \(1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5) = 0\) hay \(x – y – 2z + 9 = 0\). **Bài 3:** a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\), \((Oyz)\), \((Oxz).\). b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2;6;-3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ. **Lời giải:** a) Mặt phẳng \((Oxy): z = 0\), \((Oyz): x = 0\), \((Oxz): y = 0\). b) Mặt phẳng song song \((Oxy): z = -3\), song song \((Oyz): x = 2\), song song \((Oxz): y = 6\). **Bài 4:** Lập phương trình của mặt phẳng: a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4;-1; 2).\). b) Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1; 4; -3).\). c) Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3; -4; 7).\). **Bài 5:** Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5;1;3)\), \(B(1;6;2)\), \(C(5;0;4)\), \(D(4;0;6).\). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD).\). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD.\). **Bài 6:** Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(M(2;-1; 2)\) và song song với mặt phẳng \((\beta ):2x – y + 3z + 4 = 0.\). **Bài 7:** Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(A(1;0;1)\), \(B(5;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta ):2x – y + z – 7 = 0.\). **Bài 8:** Xác định các giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau. **Bài 9:** Tính khoảng cách từ điểm \(A(2; 4; -3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau. **Bài 10:** Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. **III. Đánh Giá và Nhận Xét** Các bài tập trên bao gồm nhiều dạng khác nhau, từ việc viết phương trình mặt phẳng khi biết đủ thông tin (điểm, vectơ pháp tuyến, ba điểm) đến việc xác định các yếu tố liên quan (vectơ pháp tuyến, khoảng cách). Các bài toán ứng dụng (Bài 10) đòi hỏi khả năng tư duy không gian và kết hợp kiến thức về hình học với phương pháp tọa độ. **IV. Lời Khuyên và Khích Lệ** Học toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy cố gắng suy nghĩ, tìm tòi và tham khảo các nguồn tài liệu khác nhau. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Hình học! Hãy tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài tập khác để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!