giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: phương trình đường thẳng trong không gian

Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Bài tập luyện tập” của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề phương trình đường thẳng trong không gian. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

• a) \(d\) đi qua điểm \(M(5; 4; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; – 3;1).\)
• b) \(d\) đi qua điểm \(A(2; -1; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(x + y – z + 5 = 0.\)
• c) \(d\) đi qua điểm \(B(2;0; -3)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 2t}\\
  
  {y = – 3 + 3t}\\
  
  {z = 4t}
  
  \end{array}} \right..\)
• d) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4).\)

Lời giải:

• a) \(d\) đi qua điểm \(M(5; 4; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; – 3;1)\) nên \(d\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 5 + 2t}\\
  
  {y = 4 – 3t}\\
  
  {z = 1 + t}
  
  \end{array}} \right..\)
• b) Do \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):x + y – z + 5 = 0\), nên \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow a = (1;1; – 1)\) làm vectơ chỉ phương. Do vậy \(d\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 2 + t}\\
  
  {y = – 1 + t}\\
  
  {z = 3 – t}
  
  \end{array}} \right..\)
• c) Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 2t}\\
  
  {y = – 3 + 3t}\\
  
  {z = 4t}
  
  \end{array}} \right.\) nên \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow a = (2;3;4)\) làm vectơ chỉ phương, mà \(d\) đi qua \(B(2;0; – 3).\) Do đó \(d\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 2 + 2t}\\
  
  {y = 3t}\\
  
  {z = – 3 + 4t}
  
  \end{array}} \right..\)
• d) Do \(d\) đi qua \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4)\) nên \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow {PQ} = (4;2;1)\) làm vectơ chỉ phương. Do đó \(d\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 4t}\\
  
  {y = 2 + 2t}\\
  
  {z = 3 + t}
  
  \end{array}} \right..\)

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2 + t}\\

{y = – 3 + 2t}\\

{z = 1 + 3t}

\end{array}} \right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

• a) \((Oxy).\)
• b) \((Oyz).\)

Lời giải:

• a) Hình chiếu của đường thẳng \(d\) lên \((Oxy)\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {z = 0}\\
  
  {x = 2 + t}\\
  
  {y = -3 + 2t}
  
  \end{array}} \right..\)
• b) Hình chiếu của đường thẳng \(d\) lên \((Oyz)\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 0}\\
  
  {y = -3 + 2t}\\
  
  {z = 1 + 3t}
  
  \end{array}} \right..\)

Bài 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d’\) cho bởi các phương trình sau:

• a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = – 3 + 2t}\\
  
  {y = – 2 + 3t}\\
  
  {z = 6 + 4t}
  
  \end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 5 + t’}\\
  
  {y = – 1 – 4t’}\\
  
  {z = 20 + t’}
  
  \end{array}} \right..\)
• b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + t}\\
  
  {y = 2 + t}\\
  
  {z = 3 – t}
  
  \end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 2t’}\\
  
  {y = – 1 + 2t’}\\
  
  {z = 2 – 2t’}
  
  \end{array}.} \right.\)

Lời giải:

• a) Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
• b) Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song.

Bài 4. Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 + at}\\

{y = t}\\

{z = – 1 + 2t}

\end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 – t’}\\

{y = 2 + 2t’}\\

{z = 3 – t’}

\end{array}.} \right.\)

Lời giải: \(a = 0\)

Bài 5. Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:

• a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 12 + 4t}\\
  
  {y = 9 + 3t}\\
  
  {z = 1 + t}
  
  \end{array}} \right.\) và \(3x + 5y – z – 2 = 0.\)
• b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + t}\\
  
  {y = 2 – t}\\
  
  {z = 1 + 2t}
  
  \end{array}} \right.\) và \((\alpha ):x + 3y + z + 1 = 0.\)
• c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + t}\\
  
  {y = 1 + 2t}\\
  
  {z = 2 – 3t}
  
  \end{array}} \right.\) và \((\alpha ):x + y + z – 4 = 0.\)

Lời giải:

• a) Một giao điểm.
• b) Không có giao điểm.
• c) Vô số giao điểm.

Bài 6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 3 + 2t}\\

{y = – 1 + 3t}\\

{z = – 1 + 2t}

\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x – 2y + z + 3 = 0.\)

Lời giải: \(\frac{2}{3}\)

Bài 7. Cho điểm \(A(1; 0; 0)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2 + t}\\

{y = 1 + 2t}\\

{z = t}

\end{array}} \right..\)

• a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta .\)
• b) Tìm tọa độ điểm \(A’\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(\Delta .\)

Lời giải:

• a) \(H\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right).\)
• b) \(A(2; 0; -1).\)

Bài 8. Cho điểm \(M(1; 4; 2)\) và mặt phẳng \((\alpha ):x + y + z – 1 = 0.\)

• a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((\alpha ).\)
• b) Tìm tọa độ điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((\alpha ).\)
• c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((\alpha ).\)

Lời giải:

• a) \(H = ( – 1;2;0).\)
• b) \(M’ = ( – 3;0; – 2).\)
• c) \(2\sqrt 3 \).

Bài 9. Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 – t}\\

{y = 2 + 2t}\\

{z = 3t}

\end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 + t}\\

{y = 3 – 2t}\\

{z = 1}

\end{array}} \right..\)

Chứng minh \(d\) và \(d’\) chéo nhau.

Lời giải: \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) có cạnh bằng \(1.\) Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A’BD)\) và \((B’D’C).\)

Lời giải: Khoảng cách từ \(A\) đến \((A’BD)\) là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và khoảng cách từ \(A\) đến \((B’D’C)\) là \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Hình học!