giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: ôn tập chương ii

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Ôn Tập Chương II - Hình Học 12 Cơ Bản Chào các em học sinh! Bài viết này là hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần Câu hỏi và Bài tập, Luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, chương II. Mục tiêu của chúng ta là nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới. Hãy cùng bắt đầu nhé! **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này tập trung vào các kiến thức trọng tâm của chương II, bao gồm: mặt cầu, khối cầu, hình trụ, hình nón và mối quan hệ giữa chúng. Các bài tập được xây dựng theo mức độ tăng dần, từ việc kiểm tra kiến thức cơ bản đến vận dụng, mở rộng và giải quyết các bài toán phức tạp hơn. **I. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 1:** Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) cùng thuộc một mặt cầu và \(\widehat {ACB} = {90^0}.\) Khẳng định nào sau đây đúng? a) Đường tròn qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên mặt cầu. b) \(AB\) là đường kính của mặt cầu đã cho. c) \(AB\) không phải là đường kính của mặt cầu. d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC).\) **Lời giải:** Khẳng định a) “Đường tròn qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên mặt cầu” là khẳng định đúng. Vì góc \(ACB = 90^0\) nên \(AB\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Đường tròn này nằm trên mặt cầu. Khẳng định d) cũng là khẳng định đúng. Vì \(AB\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), nên \(AB\) cũng là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC)\). **Bài 2:** Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cạnh \(BD\) vuông góc với \(BC.\) Biết \(AB = AD = a.\) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc \(BDA\) quanh \(AB.\) **Lời giải:** (Hình vẽ minh họa đã được cung cấp) Khi quay đường gấp khúc \(BDA\) quanh cạnh \(AB\) ta được mặt nón có đỉnh \(B\), đường sinh \(BD.\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{AD \bot (ABC)}\\

{BC \bot BD}

\end{array}} \right..\)\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{BC \bot AD}\\

{BC \bot BD}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot BA.\) Do vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(\widehat {BAC} < {90^0}\) và mặt đáy của mặt nón không nằm trên mặt phẳng \((ACD).\) Ta có: \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \) (do tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\)). Diện tích xung quanh của mặt nón là: \({S_{xq}} = \pi r.l = \pi .giaitoan.edu.vn = \pi {a^2}\sqrt 2 .\) Thể tích của khối nón tạo bởi mặt nón nói trên là: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi .A{D^2}.AB = \frac{{\pi {a^3}}}{3}.\) **Bài 3:** Chứng minh một hình chóp có tất cả các mặt bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu. **Lời giải:** (Hình vẽ minh họa đã được cung cấp) Gọi \(O\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt đáy. Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên \(O\) cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Như vậy đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) và nhận \(SO\) làm trục. Gọi \(I\) là giao điểm của \(SO\) và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, ta có \(I\) cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp một đoạn \(r = SI.\) Vậy hình chóp luôn nội tiếp một mặt cầu \(S(I;r).\) **Bài 4:** Hình chóp \(SABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên \(SA\), \(SB\), \(SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB\), \(BC\), \(CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều. **Lời giải:** (Hình vẽ minh họa đã được cung cấp) Giả sử mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) tại \(Q\), \(R\), \(L\) và tiếp xúc với \(AB\), \(BC\), \(CA\) tại các trung điểm \(M\), \(N\), \(P\), ta có: \(SQ\), \(SR\), \(SL\) là tiếp tuyến của \((S)\) kẻ từ \(S\) nên: \(SQ = SR = SL = a.\) Tương tự, ta có: \(AQ = AM = AP = b.\) \(BM = BR = BN = c.\) \(CN = CP = CL = d.\) Mặt khác do \(M\), \(N\), \(P\) là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CA\), suy ra: \(AP = PC \Rightarrow b = d.\) \(AM = BM \Rightarrow b = c.\) \( \Rightarrow AB = BC = CA = 2b = 2c = 2d.\) Hay \(\Delta ABC\) là tam giác đều \((1).\) Ta có: \(SA = a + b\), \(SB = a + c\), \(SC = a + d.\) Suy ra \(SA = SB = SC\) \((2).\) Từ \((1)\) và \((2)\) ta có \(giaitoan.edu.vn\) là hình chóp tam giác đều. **Bài 5:** Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \((BCD).\) a) Chứng minh rằng \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD.\) Tính độ dài \(AH.\) b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH.\) **Lời giải:** (Hình vẽ minh họa đã được cung cấp) a) Xét ba tam giác \(AHB\), \(AHC\), \(AHD\) có chung cạnh \(AH\) và \(AB = AC = AD = a\) \( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD.\) \( \Rightarrow HB = HC = HD\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD.\) Do \(\Delta BCD\) là tam giác đều và \(BM\) là trung trực của \(\Delta BCD\) nên \(BM\) cũng là trung tuyến. \( \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow BH = \frac{2}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(AH = \sqrt {A{B^2} – B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) b) Hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp \(\Delta BCD\) và chiều cao \(AH\) thì bán kính hình trụ là: \(r = BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi .giaitoan.edu.vn = 2\pi .\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}.\) Thể tích của khối trụ là: \(V = \pi .{r^2}.AH = \pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{9}.\) **Bài 6 & 7:** (Tương tự như các bài trên, các em tự giải dựa trên gợi ý và phương pháp đã trình bày) **II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II** (Đáp án đã được cung cấp) **Lời khuyên:** * **Nắm vững lý thuyết:** Hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến mặt cầu, hình trụ, hình nón. * **Luyện tập thường xuyên:** Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài. * **Phân tích bài toán:** Đọc kỹ đề bài, xác định các yếu tố đã cho và yêu cầu cần tìm. * **Vẽ hình:** Vẽ hình minh họa giúp các em hình dung rõ hơn về bài toán và tìm ra hướng giải quyết. * **Kiểm tra lại kết quả:** Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới! Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn nhé!