giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khái niệm về mặt tròn xoay

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa Hình Học 12 – Khái niệm về Mặt Tròn Xoay Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề "Khái niệm về Mặt Tròn Xoay". Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này bao gồm các dạng bài khác nhau, từ chứng minh, gọi tên hình đến tính toán các yếu tố hình học của mặt tròn xoay. Các lời giải được trình bày rõ ràng, có sử dụng hình vẽ minh họa, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được phương pháp giải. Tuy nhiên, một số lời giải có thể được trình bày chi tiết hơn để phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. ### **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 1:** Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\) nằm trên một mặt phẳng \((P)\). Từ những điểm \(M\) thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với \((P)\). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục của mặt trụ và bán kính của mặt trụ đó. **Lời giải:** Qua tâm \(O\) của đường tròn kẻ đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Ta có: \(\Delta // m\) (với \(m\) là đường thẳng qua \(M\) và \(m \bot (P)\)) và khoảng cách giữa \(\Delta\) và \(m\) luôn bằng \(r\). Vậy các đường thẳng \(m\) luôn luôn nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng \(\Delta\) và có bán kính bằng \(r\). **Nhận xét:** Bài toán này giúp học sinh hiểu rõ về cách hình thành mặt trụ tròn xoay từ một đường tròn và các đường thẳng song song với một trục. **Bài 2:** Trong mỗi trường hợp sau đây hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó. c) Một tam giác vuông kể các điểm trong tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. d) Một hình chữ nhật kể các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. **Lời giải:** a) Hình tròn xoay sinh ra bởi quay ba cạnh của hình chữ nhật quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư là hình trụ tròn xoay (hay hình trụ). b) Hình tròn xoay sinh ra bởi một tam giác cân quay quanh trục đối xứng của nó là hình nón tròn xoay (hay là hình nón). c) Khối tròn xoay đó gọi là khối nón tròn xoay. d) Khối tròn xoay đó gọi là khối trụ tròn xoay. **Nhận xét:** Bài tập này củng cố kiến thức về các hình tròn xoay cơ bản và khả năng nhận biết chúng từ các hình phẳng. **Bài 3:** Cho hình nón tròn xoay có đường cao \(h = 20cm\), bán kính đáy \(r = 25cm\). a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón tạo bởi hình nón đó. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12cm\). Tính diện tích thiết diện. **Lời giải:** a) Áp dụng công thức: \({S_{xq}} = \pi .r.l\). Độ dài đường sinh của mặt nón là: \(l = \sqrt {O{I^2} + I{M^2}} = \sqrt {400 + 625} = \sqrt {1025}\). \( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi .25.\sqrt {1025} \approx 2514,5 \left( {c{m^2}} \right)\). b) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}.\pi {.25^2}.20 \approx 13089,969 \left( {c{m^3}} \right)\). c) Giả sử mặt phẳng \((\alpha)\) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân \(OMN\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\), ta có: \(IH \bot MN\) và \(OH \bot MN\) \( \Rightarrow MN \bot (OIH)\). Từ \(I\) hạ \(IK \bot OH\), khi đó \(IK = 12\) là khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \((\alpha)\) chứa thiết diện \(OMN\). Xét tam giác vuông \(OIH\), ta có: \(\frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{1}{{I{O^2}}} + \frac{1}{{I{H^2}}}\). \( \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} – \frac{1}{{I{O^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} – \frac{1}{{{{20}^2}}} = \frac{1}{{225}} \Rightarrow IH = 15cm\). \(O{H^2} = O{I^2} + I{H^2} = {20^2} + {15^2} \Rightarrow OH = 25cm\). \(MN = giaitoan.edu.vn = 2\sqrt {I{M^2} – I{H^2}} = 2\sqrt {{{25}^2} – {{15}^2}} = 40cm\). Vậy diện tích của thiết diện là diện tích của \(\Delta OMN\) và: \(S = \frac{1}{2}giaitoan.edu.vn = 500c{m^2}\). **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi học sinh vận dụng các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của hình nón và sử dụng các định lý về tam giác vuông để giải quyết. **(Các bài 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sẽ được trình bày tương tự, bao gồm lời giải chi tiết và nhận xét)** **Lời động viên:** Các em học sinh thân mến, việc học Hình học đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng hình dung không gian. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy cố gắng ôn tập lý thuyết, làm nhiều bài tập và trao đổi với bạn bè, thầy cô. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao!