giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: mặt cầu

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa Hình Học 12 Cơ Bản: Mặt Cầu Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần Câu hỏi và Bài tập, Luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, chương Mặt cầu. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này bao gồm các dạng toán điển hình về mặt cầu, từ việc xác định tập hợp điểm đến tính toán các yếu tố liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Các lời giải được trình bày rõ ràng, có sử dụng hình vẽ minh họa giúp học sinh dễ hình dung và theo dõi. Tuy nhiên, để nâng cao hơn nữa, có thể bổ sung thêm các cách giải khác, các chú ý quan trọng và mở rộng kiến thức liên quan. **Nội dung chi tiết:** **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 1.** Tìm tập hợp tất cả những điểm \(M\) trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới một góc vuông. **Lời giải:** Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\). Xét tam giác \(MAB\), nếu \(\angle AMB = 90^\circ\), thì \(M\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\). Vì \(M\) nằm trong không gian, nên tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn là mặt cầu tâm \(O\), bán kính \(r = \frac{AB}{2}\). **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng cơ bản của định lý về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn trong không gian. **Bài 2.** Cho hình chóp tứ giác đều \(giaitoan.edu.vn\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. **Lời giải:** Do \(giaitoan.edu.vn\) là hình chóp tứ giác đều, chân đường cao của \(S\) trùng với tâm \(I\) của hình vuông \(ABCD\). Ta có \(IA = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) và \(SI = \sqrt{SA^2 - IA^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Vì \(SI = IA = IB = IC = ID\), tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(I\) và bán kính \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi học sinh phải kết hợp kiến thức về hình chóp đều và mặt cầu ngoại tiếp. **Bài 3.** Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước. **Lời giải:** Gọi đường tròn \((C)\) tâm \(O\) bán kính \(r\) cố định nằm trên mặt phẳng \((\alpha)\). Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\) đi qua \((C)\). Khi đó, \(IO \perp (\alpha)\). Vậy \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(O\). Ngược lại, mọi điểm \(I \in \Delta\) đều là tâm của một mặt cầu đi qua \((C)\). Vậy tập hợp tâm các mặt cầu là đường thẳng \(\Delta\). **Nhận xét:** Bài toán này rèn luyện khả năng tư duy không gian và vận dụng các tính chất về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. **Bài 4.** Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. **Lời giải:** Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó, tâm \(O\) của mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh \(BC\), \(AC\), \(AB\) phải cách đều ba cạnh đó, do đó \(O\) nằm trên trục của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). **Nhận xét:** Bài toán này liên quan đến kiến thức về đường tròn nội tiếp và trục của đường tròn. **Bài 5.** Từ một điểm \(M\) nằm ngoài mặt cầu \(S(O;r)\) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại \(A\), \(B\) và \(C\), \(D\). a) Chứng minh rằng \(giaitoan.edu.vn = giaitoan.edu.vn\). b) Gọi \(MO = d\). Tính \(giaitoan.edu.vn\) theo \(d\) và \(r\). **Lời giải:** a) Sử dụng phương tích của một điểm đối với một đường tròn, ta có \(giaitoan.edu.vn = giaitoan.edu.vn\). b) \(giaitoan.edu.vn = MO^2 - r^2 = d^2 - r^2\). **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng quan trọng của phương tích của một điểm đối với một đường tròn. **Bài 6.** Cho mặt cầu \(S(O;r)\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) tại \(I\). Gọi \(M\) là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với \(I\) qua tâm \(O\). Từ \(M\) kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt \((P)\) tại \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng \(\widehat {AMB} = \widehat {AIB}\). **Lời giải:** Vì \(MA\) và \(MB\) là tiếp tuyến của mặt cầu, \(MA = MB\). Do đó, tam giác \(MAB\) cân tại \(M\). Mặt khác, \(IA = IB\) (tính chất tiếp tuyến). Suy ra \(\widehat{AMB} = \widehat{AIB}\). **Nhận xét:** Bài toán này kết hợp kiến thức về tiếp tuyến và tam giác cân. **Bài 7.** Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AA’ = a\), \(AB = b\), \(AD = c\). a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua \(8\) đỉnh của hình hộp đó. b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) với mặt cầu nói trên. **Lời giải:** a) Tâm mặt cầu là trung điểm của đường chéo \(AC’\), bán kính \(r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). b) Bán kính đường tròn là \(\frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}\). **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về hình hộp chữ nhật và mặt cầu ngoại tiếp. **Bài 8.** Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với \(6\) cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau. **Lời giải:** Sử dụng tính chất tiếp tuyến và các kết quả đã chứng minh ở các bài trước, ta có thể chứng minh được điều này. **Bài 9.** Cho một điểm \(A\) cố định và một đường thẳng \(a\) cố định không đi qua \(A\). Gọi \(O\) là một điểm thay đổi trên \(a\). Chứng minh rằng mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r = OA\) luôn đi qua một đường tròn cố định. **Lời giải:** Mặt cầu luôn đi qua đường tròn là giao của mặt cầu và mặt phẳng vuông góc với \(a\) tại điểm chiếu của \(A\) lên \(a\). **Bài 10.** Cho hình chóp \(giaitoan.edu.vn\) có \(4\) đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, \(SA = a\), \(SB = b\), \(SC = c\) và cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó. **Lời giải:** Tính toán dựa trên các công thức về diện tích và thể tích mặt cầu, sử dụng kết quả đã tìm được ở các bước trước. **Lời động viên:** Các em học sinh thân mến, việc học toán đòi hỏi sự kiên trì, chăm chỉ và tư duy logic. Đừng nản lòng trước những bài toán khó, hãy cố gắng suy nghĩ, tìm tòi và áp dụng các kiến thức đã học. Chúc các em học tập tốt và đạt được những thành công trong môn Toán! Hãy tiếp tục khám phá thế giới toán học đầy thú vị và bổ ích nhé!