giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: bất phương trình mũ và lôgarit

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập Bất phương trình mũ và lôgarit – Giải tích 12 nâng cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Bài tập luyện tập” của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề bất phương trình mũ và lôgarit. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài tập thường gặp.

Bài 80. Giải các bất phương trình:

a) \(2^{3 – 6x} /> 1.\)

Lời giải:

Ta có: \(2^{3 – 6x} /> 2^0\) (vì \(1 = 2^0\))

Suy ra: \(3 – 6x /> 0\)

Giải bất phương trình, ta được: \(x < \frac{1}{2}\). Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < \frac{1}{2}\).

b) \(16^x /> 0,125.\)

Lời giải:

Ta có: \(16^x /> \frac{1}{8}\) hay \((2^4)^x /> 2^{-3}\)

Suy ra: \(2^{4x} /> 2^{-3}\)

Do đó: \(4x /> -3\)

Giải bất phương trình, ta được: \(x /> -\frac{3}{4}\). Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x /> -\frac{3}{4}\).

Bài 81. Giải các bất phương trình:

a) \({\log _5}(3x – 1) < 1.\)

Lời giải:

Điều kiện: \(3x – 1 /> 0 \Leftrightarrow x /> \frac{1}{3}\).

Ta có: \({\log _5}(3x – 1) < {\log _5}5\)

Suy ra: \(3x – 1 < 5\)

Giải bất phương trình, ta được: \(x < 2\). Kết hợp với điều kiện \(x /> \frac{1}{3}\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(\frac{1}{3} < x < 2\).

b) \({\log _{\frac{1}{3}}}(5x – 1) /> 0.\)

Lời giải:

Điều kiện: \(5x – 1 /> 0 \Leftrightarrow x /> \frac{1}{5}\).

Ta có: \({\log _{\frac{1}{3}}}(5x – 1) /> {\log _{\frac{1}{3}}}1\)

Vì cơ số \(\frac{1}{3} < 1\) nên bất phương trình tương đương với: \(5x – 1 < 1\)

Giải bất phương trình, ta được: \(x < \frac{2}{5}\). Kết hợp với điều kiện \(x /> \frac{1}{5}\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}\).

c) \({\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge – 1.\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x^2 – 5x + 6 /> 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) /> 0 \Leftrightarrow x < 2 \text{ hoặc } x /> 3\).

Ta có: \({\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge {\log _{0,5}}{0,5}^{-1}\)

Vì cơ số \(0,5 < 1\) nên bất phương trình tương đương với: \(x^2 – 5x + 6 \le 2\)

Suy ra: \(x^2 – 5x + 4 \le 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-4) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 4\).

Kết hợp với điều kiện \(x < 2 \text{ hoặc } x /> 3\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(1 \le x < 2\) hoặc \(3 < x \le 4\). Tập nghiệm: \(S = [1;2) \cup (3;4]\).

d) \({\log _3}\frac{{1 – 2x}}{x} \le 0.\)

Lời giải:

Điều kiện: \(\frac{{1 – 2x}}{x} /> 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{2}\).

Ta có: \({\log _3}\frac{{1 – 2x}}{x} \le {\log _3}1\)

Suy ra: \(\frac{{1 – 2x}}{x} \le 1\)

Giải bất phương trình, ta được: \(\frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}\). Kết hợp với điều kiện \(0 < x < \frac{1}{2}\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(\frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}\). Tập nghiệm: \(S = \left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right).\)

Bài 82 và Bài 83 (Tương tự như trên, các em tự giải và đối chiếu với đáp án đã cho. Chú trọng điều kiện xác định và tính chất của hàm lôgarit khi cơ số khác 1).

Lời khuyên:

Các em nên nắm vững các tính chất của bất phương trình mũ và lôgarit, đặc biệt là chiều của bất phương trình khi lấy lôgarit với cơ số khác 1. Việc kiểm tra điều kiện xác định là vô cùng quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Hãy luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Chúc các em học tốt!