Giải Toán Giải Bài Tập Sgk Giải Tích 12 Nâng Cao: Hệ Phương Trình Mũ Và Lôgarit

Quý độc giả đang tham khảo tài liệu , được biên soạn bám sát chuẩn đề thi toán mới nhất. Nội dung được cấu trúc chặt chẽ, phân tầng từ cơ bản đến nâng cao, hỗ trợ củng cố và mở rộng kiến thức toán học một cách hệ thống. Hãy tận dụng tối đa tài liệu này để nâng cao hiệu quả học tập và chinh phục mọi kỳ kiểm tra, kỳ thi với kết quả xuất sắc.

Hướng dẫn giải chi tiết hệ phương trình mũ và logarit – Giải tích 12 nâng cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Luyện tập” của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề hệ phương trình mũ và logarit. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải, rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.

I. Câu hỏi và bài tập

Bài 72. Giải các hệ phương trình:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 20}\\ {{{\log }_4}x + {{\log }_4}y = 1 + {{\log }_4}9} \end{array}} \right..\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\). Hệ phương trình tương đương với:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 20}\\ {{{\log }_4}xy = {{\log }_4}36} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 20}\\ {xy = 36} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 20 – y}\\ {(20 – y)y = 36} \end{array}} \right..\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 20 – y}\\ {{y^2} – 20y + 36 = 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 20 – y}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = 18}\\ {y = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {y = 18} \end{array}} \right.\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 18}\\ {y = 2} \end{array}} \right. \end{array} \right..\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \{ (2;18),(18;2)\} .\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 1}\\ {{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5} \end{array}} \right..\)

Lời giải:

Cách 1: Rút \(y = 1 – x\) từ phương trình đầu, thế vào phương trình thứ hai được \({4^{ – 2x}} + {4^{ – 2(1 – x)}} = 0,5\) \(\Leftrightarrow {\left( {{4^{2x}}} \right)^2} – {8.4^{2x}} + 16 = 0.\)

Đặt \(t = {4^{2x}}\) \((t > 0)\) ta được: \({t^2} – 8.t + 16 = 0\) \(\Leftrightarrow t = 4.\)

Với \(t = 4\) \(\Rightarrow {4^{2x}} = 4\) \(\Leftrightarrow 2x = 1\) \(\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow y = \frac{1}{2}.\)

Nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}.\)

Cách 2: \(x + y = 1\) \(\Leftrightarrow {4^{x + y}} = 4\) \(\Leftrightarrow {4^x}{.4^y} = 4.\)

Đặt \(u = {4^x}\), \(v = {4^y}\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u.v = 4}\\ {\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{v^2}}} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 2} \end{array}} \right.\) (vì \(u > 0\), \(v > 0\)).

Suy ra tập nghiệm của hệ phương trình là \(S = \{ (x;y)\} = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}.\)

Bài 73. Giải các hệ phương trình: