giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: số e và lôgarit tự nhiên

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập "Số e và Lôgarit tự nhiên" - Giải tích 12 nâng cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề số e và lôgarit tự nhiên. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.

Bài 42: Phân tích và sửa lỗi trong lập luận

Bài tập này yêu cầu học sinh phát hiện sai lầm trong một lập luận sử dụng các tính chất của lôgarit. Lỗi sai nằm ở việc áp dụng không đúng công thức \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Cụ thể, \(\ln(2e) = \ln 2 + \ln e\) chứ không phải \(\ln(2e) = \ln e + \ln e\). Bài tập này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nắm vững và áp dụng chính xác các công thức lôgarit.

Bài 43: Biểu diễn lôgarit theo các biến cho trước

Bài tập này rèn luyện kỹ năng sử dụng các tính chất của lôgarit để biến đổi và rút gọn biểu thức. Các bước giải cần thực hiện bao gồm:

• Phân tích số thành tích các thừa số nguyên tố.
• Sử dụng công thức \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) và \(\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b\).
• Thay thế các giá trị \(\ln 2 = a\) và \(\ln 5 = b\) để thu được kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

• \(\ln 500 = \ln (5^3 \cdot 2^2) = 3\ln 5 + 2\ln 2 = 3b + 2a.\)
• \(\ln \frac{16}{25} = \ln 16 - \ln 25 = \ln 2^4 - \ln 5^2 = 4\ln 2 - 2\ln 5 = 4a - 2b.\)
• \(\ln 6,25 = \ln \frac{625}{100} = \ln 625 - \ln 100 = \ln 5^4 - \ln (2^2 \cdot 5^2) = 4\ln 5 - (2\ln 2 + 2\ln 5) = 2\ln 5 - 2\ln 2 = 2b - 2a.\)
• \(\ln \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot ... \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} = \ln \frac{1}{100} = \ln 1 - \ln 100 = - \ln 100 = - \ln (2^2 \cdot 5^2) = - (2\ln 2 + 2\ln 5) = -2a - 2b.\)

Bài 44: Chứng minh đẳng thức lôgarit

Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức lôgarit bằng cách biến đổi vế trái về vế phải. Các bước giải cần thực hiện bao gồm:

• Sử dụng các tính chất của lôgarit để biến đổi biểu thức.
• Rút gọn biểu thức bằng cách khử các yếu tố chung.
• Đưa biểu thức về dạng đơn giản để chứng minh đẳng thức.

Bài 45: Ứng dụng của số e trong bài toán tăng trưởng vi khuẩn

Bài tập này áp dụng công thức \(S = A e^{rt}\) để mô tả sự tăng trưởng của vi khuẩn. Học sinh cần xác định các giá trị \(r\) và \(t\) từ các thông tin đã cho để giải quyết bài toán. Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tế của số e và lôgarit trong các bài toán tăng trưởng.

Bài 46: Ứng dụng của số e trong bài toán phân rã phóng xạ

Bài tập này tương tự như bài 45, nhưng áp dụng cho bài toán phân rã phóng xạ. Học sinh cần sử dụng công thức \(S = A e^{rt}\) để tính thời gian phân rã của chất phóng xạ. Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tế của số e và lôgarit trong các bài toán phân rã.

Đánh giá chung và động viên

Các bài tập trên là những bài tập điển hình trong chương trình Giải tích 12 nâng cao, giúp học sinh củng cố kiến thức về số e và lôgarit tự nhiên. Để học tốt môn Toán, đặc biệt là các chủ đề liên quan đến hàm số và lôgarit, các em cần:

• Nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức cơ bản.
• Luyện tập thường xuyên các bài tập từ dễ đến khó.
• Hiểu rõ bản chất của bài toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
• Không ngại hỏi thầy cô và bạn bè khi gặp khó khăn.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!