giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: phương trình mặt phẳng

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng - Hình Học 12 Nâng Cao Chào các em học sinh! Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề "Phương trình mặt phẳng". Đây là một phần kiến thức quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững lý thuyết và kỹ năng vận dụng linh hoạt. **Đánh giá chung về nội dung:** Nội dung bài tập được trình bày khá đầy đủ, bao gồm các dạng bài tập cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng: * Viết phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố khác nhau (đi qua ba điểm, qua hai điểm và song song với một đường thẳng, song song với một mặt phẳng, vuông góc với một mặt phẳng, cắt các trục tọa độ...). * Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng. * Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến mặt phẳng. * Ứng dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tế. **Nhận xét về lời giải:** Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, có giải thích các bước thực hiện. Tuy nhiên, một số bài có thể trình bày thêm các cách giải khác để học sinh có thêm lựa chọn và hiểu sâu hơn về vấn đề. **Lời động viên:** Các em học sinh thân mến! Phương trình mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong Hình học không gian. Để nắm vững kiến thức này, các em cần: * **Nắm vững lý thuyết:** Hiểu rõ các công thức, định lý liên quan đến phương trình mặt phẳng. * **Luyện tập thường xuyên:** Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài. * **Tìm tòi, sáng tạo:** Đừng ngại tìm tòi các cách giải khác nhau cho một bài toán. * **Hỏi thầy cô, bạn bè:** Nếu gặp khó khăn, hãy mạnh dạn hỏi thầy cô, bạn bè để được giúp đỡ. **Nội dung chi tiết:** **I. Câu hỏi và Bài tập** **Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:** a) Đi qua ba điểm \(M(2;0; – 1)\), \(N(1; – 2;3)\), \(P(0;1;2).\): * **Lời giải:** Mặt phẳng \((MNP)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {MN} = ( – 1; – 2;4)\) và \(\overrightarrow {MP} = ( – 2;1;3)\) làm vectơ pháp tuyến. Ta tính tích có hướng: \([\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = ( – 10; – 5; – 5)\). Vậy phương trình mặt phẳng \((MNP)\) là: \(-10(x – 2) – 5y – 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0.\) b) Đi qua hai điểm \(A(1;1; – 1)\), \(B(5;2;1)\) và song song với trục \(Oz.\): * **Lời giải:** Vì mặt phẳng đi qua \(AB\) và song song với \(Oz\) nên nó có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\vec k]\), với \(\overrightarrow {AB} = (4;1;2)\), \(\vec k = (0;0;1)\) nên \(\vec n = (1; – 4;0).\). Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(1(x – 1) – 4(y – 1) + 0(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x – 4y + 3 = 0.\) c) Đi qua điểm \((3;2; – 1)\) và song song với mặt phẳng có phương trình: \(x – 5y + z = 0.\): * **Lời giải:** Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng \(x – 5y + z = 0\) nên nó có phương trình dạng: \(x – 5y + z + D = 0\). Thay điểm \((3;2; – 1)\) vào, ta được: \(3 – 5(2) + ( – 1) + D = 0 \Leftrightarrow D = 8.\) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(x – 5y + z + 8 = 0.\) d) Đi qua hai điểm \(A(0;1;1)\), \(B( – 1;0;2)\) và vuông góc với mặt phẳng: \(x – y + z + 1 = 0.\): * **Lời giải:** Mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_1}} ]\), với \(\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1;1)\) và \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; – 1;1)\). Suy ra \(\vec n = (0;2;2).\) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(y + z – 2 = 0.\) e) Đi qua điểm \(M(a;b;c)\) \((abc \ne 0)\) và song song với một mặt phẳng tọa độ. * **Lời giải:** Nếu song song với \(mp(Oxy)\) thì phương trình là \(z – c = 0\). Tương tự, song song với \(mp(Oxz)\) là \(y – b = 0\) và song song với \(mp(Oyz)\) là \(x – a = 0\). g) Đi qua điểm \(G(1;2;3)\) và cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\): * **Lời giải:** Giả sử \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0; 0; c)\). Vì \(G(1; 2; 3)\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\frac{a}{3} = 1\), \(\frac{b}{3} = 2\), \(\frac{c}{3} = 3\) suy ra \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 9\). Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1.\) h) Đi qua điểm \(H(2;1;1)\) và cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\) * **Lời giải:** Bài toán này phức tạp, cần sử dụng thêm kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. (Lời giải đầy đủ vượt quá phạm vi bài viết này). **Bài 16 - Bài 23:** Tương tự như trên, các em tự giải và đối chiếu với đáp án đã cho. Chú trọng việc hiểu rõ bản chất của từng dạng bài và vận dụng linh hoạt các công thức, định lý đã học. Chúc các em học tập tốt!