giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Hướng dẫn giải bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều - Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Luyện tập” của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề Khối đa diện lồi và Khối đa diện đều. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.

Bài 2: Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \({S_1} = 6{a^2}\).

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ).

Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = \frac{1}{2}CD’ = \frac{1}{2}\sqrt 2 a\).

Ta có: \({S_{\Delta MQE}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}\sqrt 2 a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = \frac{1}{8}{a^2}\sqrt 3 .\)

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.\frac{1}{8}.{a^2}\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 .\)

Do đó: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{6{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 .\)

Bài 3: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Lời giải:

Gọi tâm các mặt đối diện với các đỉnh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) lần lượt là \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\). Ta sẽ chứng minh cho bốn điểm \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) tạo thành tứ diện đều.

Hiển nhiên bốn điểm đó tạo thành một tứ diện.

Gọi trung điểm các cạnh \(BC\), \(CD\), \(DB\) lần lượt là \(M\), \(N\), \(P\). Dễ thấy: tam giác \(AMN\) đồng dạng với tam giác \(AD’B’\).

Do đó: \(\frac{{D’B’}}{{MN}} = \frac{{AD’}}{{AM}} = \frac{2}{3}.\)

\( \Rightarrow D’B’ = \frac{2}{3}MN\) \( = \frac{2}{3}.\frac{{BD}}{2} = \frac{a}{3}\) (\(a\) là độ dài cạnh của tứ diện \(ABCD\)).

Tương tự ta cũng có: \(D’C’ = C’B’ = \frac{a}{3}\).

Từ đó tam giác \(B’C’D’\) là tam giác đều cạnh bằng \(\frac{a}{3}\).

Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được các tam giác \(A’B’D’\), \(A’B’C’\), \(A’C’D’\) cũng là tam giác đều cạnh \(\frac{a}{3}.\) Vậy tứ diện \(A’B’C’D’\) là tứ diện đều.

Bài 4: Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\). Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng \(AF\), \(BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) \(ABFD\), \(AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có:

\(BE = ED = DC = BC\).

\(AE = EF = FC = CA\).

\(BF = FD = DA = AB\).

Nên các tứ giác \(BEDC\), \(BADF\), \(AEFC\) là các hình thoi (hiển nhiên chúng là các tứ giác).

Vì vậy \(AF\), \(FC\), \(BD\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Ở câu a ta đã chứng minh được các tứ giác \(BEDC\), \(ABFD\), \(AEFC\) là những hình thoi. Gọi \(O\) là giao điểm các đường thẳng \(BD\), \(EC\), \(AF\).

Xét các tam giác \(AEC\) và \(BEC\), chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh nên \(OA = OB\) \( \Leftrightarrow AF = BD\) \( \Rightarrow AEFC\) là hình vuông.

Hoàn toàn tương tự ta có các tứ giác còn lại là hình vuông.

Đánh giá và nhận xét:

• Bài viết trình bày lời giải chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu cho từng bài tập.
• Các bước giải được trình bày logic, có sử dụng hình vẽ minh họa giúp học sinh dễ hình dung.
• Lời giải sử dụng kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán về khối đa diện.

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến, việc nắm vững kiến thức về khối đa diện là nền tảng quan trọng cho việc học Hình học không gian. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm thêm nhiều bài tập khác để hiểu sâu hơn về các khái niệm và phương pháp giải toán. Đừng ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!