Chào mừng bạn đến với bài học đầu tiên của chương 3 Toán 11! Bài học này tập trung vào khái niệm quan trọng về giới hạn của dãy số, một nền tảng cơ bản cho việc học tập các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các tính chất và các ví dụ minh họa để hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số. Bài học này được thiết kế để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
Bài 1 trong chương 3 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số, một khái niệm nền tảng trong giải tích. Hiểu rõ về giới hạn dãy số là bước đệm quan trọng để tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như giới hạn hàm số, đạo hàm và tích phân.
Một dãy số (un) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |un - L| < ε. Ký hiệu: limn→∞ un = L.
Giải thích: Định nghĩa này có nghĩa là khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy (un) sẽ tiến gần đến L một cách tùy ý. ε là một độ chính xác cho phép, và N là một chỉ số để đảm bảo rằng tất cả các số hạng sau N đều nằm trong khoảng (L - ε, L + ε).
Nếu un = C (C là một hằng số) với mọi n, thì limn→∞ un = C.
Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân số, ta thường chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất xuất hiện trong biểu thức.
Ví dụ: limn→∞ (2n + 1) / (n2 + 3) = limn→∞ (2/n + 1/n2) / (1 + 3/n2) = 0 / 1 = 0.
Tương tự như dãy số có dạng phân số, ta thường đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn bằng cách chia cả tử và mẫu cho n với số mũ phù hợp.
Ví dụ 1: Tính limn→∞ (3n - 1) / (2n + 5).
Giải: limn→∞ (3n - 1) / (2n + 5) = limn→∞ (3 - 1/n) / (2 + 5/n) = 3/2.
Ví dụ 2: Tính limn→∞ (1 + 1/n)n.
Giải: Đây là một giới hạn quen thuộc, và kết quả là limn→∞ (1 + 1/n)n = e (số Euler).
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập!
