Chào mừng bạn đến với bài học đầu tiên trong chương Đạo hàm của Toán 11 Nâng cao. Bài học này tập trung vào việc giới thiệu khái niệm đạo hàm, một công cụ vô cùng quan trọng trong giải tích và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của đạo hàm, cũng như các phương pháp tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm. Bài học này sẽ cung cấp nền tảng vững chắc cho việc học các kiến thức nâng cao hơn về đạo hàm trong các bài học tiếp theo.
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm đạo hàm, bao gồm định nghĩa, ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lý và các phương pháp tính đạo hàm cơ bản.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu tồn tại giới hạn
limΔx→0 (f(x + Δx) - f(x)) / Δx
thì hàm số f(x) được gọi là khả vi tại điểm x và giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x).
Công thức tính đạo hàm:
f'(x) = limΔx→0 (f(x + Δx) - f(x)) / Δx
Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x.
Tiếp tuyến là đường thẳng đi qua điểm (x; f(x)) trên đồ thị hàm số và có hệ số góc bằng f'(x).
Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc và gia tốc. Ví dụ, nếu s(t) là hàm số biểu diễn quãng đường đi được của một vật tại thời điểm t, thì đạo hàm s'(t) biểu diễn vận tốc của vật tại thời điểm t, và đạo hàm bậc hai s''(t) biểu diễn gia tốc của vật tại thời điểm t.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa, ta có:
f'(x) = 2x
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x).
Ta có:
f'(x) = cos(x)
Bài học này đã cung cấp những kiến thức cơ bản về khái niệm đạo hàm. Để nắm vững hơn, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập và tìm hiểu các ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau.
