Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho parabol y = x2
Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.
Phương pháp giải:
Công thức tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A,B là: \(k = \dfrac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {2;4} \right);B\left( {2 + \Delta x,{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2}} \right)\)
Hệ số góc của cát tuyến AB là :
\(k = \dfrac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}\) \( = {{{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2} - 4} \over {2 + \Delta x - 2}} = {{4\Delta x + (\Delta {x})^2} \over {\Delta x}} = 4 + \Delta x\)
Nếu Δx = 1 thì k = 5
Nếu Δx = 0,1 thì k = 4,1
Nếu Δx = 0,01 thì k = 4,01
Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.
Phương pháp giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là đạo hàm của hàm số tại x=2.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Δy = f(2 + Δx) - f(2) = (2 + Δx)2 - 4 = 4.Δx + (Δx)2
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {4 + \Delta x} \right) = 4 \)
\(\Rightarrow y'\left( 2 \right) = 4\)
Vậy hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là : k=4
Câu 4 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, các bài toán dạng này sẽ yêu cầu học sinh:
Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là y' = 3x2 - 6x.
Đạo hàm bậc hai của hàm số là y'' = 6x - 6.
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Với x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0, ymax = 2.
Với x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, ymin = -2.
Xét dấu y':
Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có cực đại tại (0; 2) và cực tiểu tại (2; -2).
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc các tài liệu tham khảo khác.
Câu 4 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn khi làm bài tập này.
