Bài 1. Nguyên hàm

Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và đầy đủ

Bài 1. Nguyên hàm là một trong những bài học quan trọng nhất trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương Nguyên hàm và tích phân. Bài học này giới thiệu khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để các em có thể hiểu và giải quyết các bài toán tích phân phức tạp hơn.

I. Khái niệm nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x. Ta có F(x) = x² + C là một nguyên hàm của f(x) vì (x² + C)' = 2x.

II. Các tính chất của nguyên hàm

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
• Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm. ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
• Nguyên hàm của một tích có hằng số bằng tích của hằng số và nguyên hàm. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx

III. Các phương pháp tìm nguyên hàm

1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Các em cần nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản của các hàm số thường gặp như:

• ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
• ∫(1/x)dx = ln|x| + C
• ∫e^xdx = e^x + C
• ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x)dx = sin(x) + C

2. Phương pháp đổi biến số

Phương pháp này được sử dụng khi tích phân có dạng phức tạp. Ta đặt u = g(x), suy ra du = g'(x)dx và thay thế vào tích phân ban đầu.

3. Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp này được sử dụng khi tích phân có dạng tích của hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1.

Giải: ∫(3x² + 2x + 1)dx = ∫3x²dx + ∫2xdx + ∫1dx = x³ + x² + x + C

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x).

Giải: Đặt u = 2x, suy ra du = 2dx. Vậy ∫sin(2x)dx = ∫sin(u) (du/2) = -1/2 cos(u) + C = -1/2 cos(2x) + C

V. Kết luận

Bài 1. Nguyên hàm là một bài học quan trọng, đòi hỏi các em phải nắm vững khái niệm, tính chất và các phương pháp tìm nguyên hàm. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về bài học và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

Chúc các em học tập tốt!