Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 chương trình Chân trời sáng tạo tại giaitoan.edu.vn. Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, là nền tảng để học tích phân và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực.
Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về định nghĩa, tính chất và các phương pháp tìm nguyên hàm, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Khái niệm nguyên hàm
1. Khái niệm nguyên hàm
| Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K. |
Chú ý:
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \)
2. Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
+ \(\int {0dx = C} \) + \(\int {1dx = x + C} \) + \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \) |
b) Nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\)
| \(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \) |
c) Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C} \) + (\int {\sin xdx = - \cos x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \) |
d) Nguyên hàm của hàm số mũ
+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \) + \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \) |
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
+ \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \) + \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \) + \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \) |
Nguyên hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân. Hiểu rõ lý thuyết nguyên hàm là nền tảng vững chắc để học tốt môn Toán 12 chương trình Chân trời sáng tạo.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.
Dưới đây là bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp:
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
Ví dụ 1: Tìm ∫x2 dx
Áp dụng công thức ∫xn dx = (xn+1)/(n+1) + C, ta có: ∫x2 dx = (x3)/3 + C
Ví dụ 2: Tìm ∫sin(2x) dx
Đặt u = 2x, du = 2dx => dx = du/2. Khi đó, ∫sin(2x) dx = ∫sin(u) (du/2) = (1/2)∫sin(u) du = (1/2)(-cos(u)) + C = -(1/2)cos(2x) + C
Nguyên hàm có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Việc nắm vững lý thuyết nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao kiến thức Toán học.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
