Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán Toán 12 và đạt kết quả cao trong học tập.
Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập chương trình Giải tích, đặc biệt là các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức, định lý đã học để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công trong việc giải quyết các bài tập này.
Bài tập mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo bao gồm các dạng bài tập sau:
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, cũng như quy tắc đạo hàm của lũy thừa:
f'(x) = (x^3)' - (2x^2)' + (5x)' - (1)' = 3x^2 - 4x + 5
Để tìm cực trị của hàm số y = x^4 - 4x^2 + 3, ta thực hiện các bước sau:
| x | -∞ | -√2 | 0 | √2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | - | + | - | + | + |
Để giải nhanh các bài tập đạo hàm, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:
Ngoài SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để ôn tập và luyện tập:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt nhất. Chúc các em thành công!
