Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập Toán 12 tập 2. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 theo chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách dễ hiểu nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Đề bài
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \) để tìm \(F\left( x \right)\), sau đó dùng điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) để xác định hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\),
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = - \cot x + 1\) là hàm số cần tìm.
Bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chủ đề về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn để tính toán giới hạn của các hàm số đơn giản. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học các kiến thức nâng cao hơn về giới hạn và đạo hàm trong chương trình Toán 12.
Bài tập 3 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số sau:
Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)
Do đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
Tương tự như câu a, ta phân tích tử số thành nhân tử:
(x^3 - 27) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
Do đó:
lim (x→3) (x^3 - 27) / (x - 3) = lim (x→3) (x - 3)(x^2 + 3x + 9) / (x - 3) = lim (x→3) (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3*3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta có thể sử dụng định lý giới hạn đặc biệt:
lim (x→0) (sin x) / x = 1
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập sau:
Bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng để giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và các tính chất của giới hạn. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
