Chào mừng bạn đến với bài học đầu tiên của chương Đại số tổ hợp trong Toán 10 Cánh diều! Bài học này tập trung vào các quy tắc cơ bản nhưng vô cùng quan trọng: quy tắc cộng, quy tắc nhân và ứng dụng của sơ đồ hình cây trong việc giải quyết các bài toán đếm.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức này. Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài 1 trong chương Đại số tổ hợp của SGK Toán 10 Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu và ứng dụng hai quy tắc đếm cơ bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân. Bên cạnh đó, sơ đồ hình cây được giới thiệu như một công cụ trực quan hóa để giải quyết các bài toán đếm phức tạp.
Quy tắc cộng phát biểu rằng: Nếu một công việc có thể được thực hiện theo một trong m cách, hoặc theo một trong n cách (không trùng nhau), thì tổng số cách thực hiện công việc đó là m + n.
Ví dụ: Một học sinh có 3 chiếc áo và 2 chiếc quần. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?
Giải: Học sinh có 3 cách chọn áo và 2 cách chọn quần. Vì việc chọn áo và chọn quần là độc lập với nhau, nên tổng số cách chọn một bộ quần áo là 3 + 2 = 5 cách.
Quy tắc nhân phát biểu rằng: Nếu một công việc được thực hiện qua hai giai đoạn liên tiếp: giai đoạn thứ nhất có m cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n cách thực hiện, thì tổng số cách thực hiện công việc đó là m x n.
Ví dụ: Một người cần đi từ thành phố A đến thành phố B bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Nếu đi bằng ô tô, người đó có 2 lựa chọn về tuyến đường. Nếu đi bằng tàu hỏa, người đó có 3 lựa chọn về tuyến đường. Hỏi người đó có bao nhiêu cách để đi từ thành phố A đến thành phố B?
Giải: Người đó có 2 cách chọn tuyến đường bằng ô tô và 3 cách chọn tuyến đường bằng tàu hỏa. Vì việc chọn phương tiện và tuyến đường là độc lập với nhau, nên tổng số cách đi từ thành phố A đến thành phố B là 2 x 3 = 6 cách.
Sơ đồ hình cây là một công cụ trực quan hóa hữu ích để giải quyết các bài toán đếm, đặc biệt là các bài toán có nhiều giai đoạn. Sơ đồ hình cây giúp chúng ta liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra một cách có hệ thống.
Ví dụ: Một hộp đựng 2 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 2 quả bóng khác màu?
Giải: Chúng ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra:
Vẽ sơ đồ hình cây, ta thấy có 6 khả năng có thể xảy ra. Trong đó, có 4 khả năng lấy được 2 quả bóng khác màu (đỏ-xanh và xanh-đỏ). Vậy có 4 cách lấy được 2 quả bóng khác màu.
Bài 1: Một cửa hàng có 4 loại bánh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 chiếc bánh khác nhau?
Bài 2: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 3 học sinh, trong đó có ít nhất 1 học sinh nam?
Bài 3: Một mật khẩu gồm 6 ký tự, mỗi ký tự có thể là một chữ cái hoặc một chữ số. Hỏi có bao nhiêu mật khẩu khác nhau có thể tạo ra?
Giaitoan.edu.vn hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về quy tắc cộng, quy tắc nhân và sơ đồ hình cây. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
